Sea $ a $ un natural impar que no es un cuadrado perfecto, y $ m,n\in\mathbb{N} . $ Entonces a) $ \left\{ m\left( a+\sqrt a \right) \right\}\neq\left\{ n\left( a-\sqrt a \right) \right\} $ b) $ \left[ m\left( a+\sqrt a \right) \right]\neq\left[ n\left( a-\sqrt a \right) \right] $ Aquí, $ \{\},[] $ denota la parte fraccionaria, respectivamente la parte entera.

Encuentra x, y, z $\in Z$ $x^2+y^2+z^2=2^n(x+y+z)$ $n\in N$

Demuestra que tres discos de radio $1$ no pueden cubrir completamente una superficie cuadrada de lado $2$ , pero pueden cubrir más del $99.75\%$ de ella.

Encuentra el entero más pequeño $n$ para el cual el conjunto $A = \{n, n +1, n +2,...,2n\}$ contiene cinco elementos $a<b<c<d<e$ tal que $$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{c}{e}$$

Sea $ABCDA'B'C'D'$ un cubo con lado $AB = a$ . Considera los puntos $E \in (AB)$ y $F \in (BC)$ tal que $AE + CF = EF$ . a) Determina la medida del ángulo formado por los planos $(D'DE)$ y $(D'DF)$ . b) Calcula la distancia desde $D'$ a la línea $EF$ .

Sean $a,b,c\in \left( 0,\infty \right)$ . Demuestra la desigualdad $\frac{a-\sqrt{bc}}{a+2\left( b+c \right)}+\frac{b-\sqrt{ca}}{b+2\left( c+a \right)}+\frac{c-\sqrt{ab}}{c+2\left( a+b \right)}\ge 0.$

Fuera del cuadrado $ABCD$ se construye el triángulo rectángulo isósceles $ABD$ con hipotenusa $[AB]$ . Sea $N$ el punto medio del lado $[AD]$ y ${M} = CE \cap AB$ , ${P} = CN \cap AB$ , ${F} = PE \cap MN$ . En la línea $FP$ se considera el punto $Q$ tal que el $[CE$ es la bisectriz del ángulo $QCB$ . Demuestra que $MQ \perp CF$ .

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tal que $$17^n +9^{n^2} = 23^n +3^{n^2} .$$

Fuera del cuadrado $ABCD$ , se construye el rombo $BCMN$ con ángulo $BCM$ obtuso . Sea $P$ el punto de intersección de las líneas $BM$ y $AN$ . Demuestra que $DM \perp CP$ y el triángulo $DPM$ es rectángulo isósceles .

Encuentra todos los números primos $p$ y $q$ , con $p \le q$ , tal que $$p (2q + 1) + q (2p + 1) = 2 (p^2 + q^2).$$