Sean $x$ e $y$ números reales positivos tales que: $x+y^{2016}\geq 1$ . Demuestra que $x^{2016}+y> 1-\frac{1}{100}$

Una $\textit{secuencia cúbica}$ es una secuencia de enteros dada por $a_n =n^3 + bn^2 + cn + d$, donde $b, c$ y $d$ son constantes enteras y $n$ varía sobre todos los enteros, incluidos los enteros negativos. $\textbf{(a)}$ Demuestra que existe una secuencia cúbica tal que los únicos términos de la secuencia que son cuadrados de enteros son $a_{2015}$ y $a_{2016}$. $\textbf{(b)}$ Determina los posibles valores de $a_{2015} \cdot a_{2016}$ para una secuencia cúbica que satisface la condición en la parte $\textbf{(a)}$.

Dados enteros positivos $m$ y $n \ge m$, determina el mayor número de dominós ( $1\times2$ o $2 \times 1$ rectángulos) que se pueden colocar en un tablero rectangular con $m$ filas y $2n$ columnas que constan de celdas ( $1 \times 1$ cuadrados) de modo que: (i) cada dominó cubre exactamente dos celdas adyacentes del tablero; (ii) no hay dos dominós que se superpongan; (iii) no hay dos que formen un cuadrado de $2 \times 2$; y (iv) la fila inferior del tablero está completamente cubierta por $n$ dominós.

Sea $ABC$ un triángulo y sea $D$ un punto en el segmento $BC, D\neq B$ y $D\neq C$. El círculo $ABD$ se encuentra con el segmento $AC$ nuevamente en un punto interior $E$. El círculo $ACD$ se encuentra con el segmento $AB$ nuevamente en un punto interior $F$. Sea $A'$ la reflexión de $A$ en la línea $BC$. Las líneas $A'C$ y $DE$ se encuentran en $P$, y las líneas $A'B$ y $DF$ se encuentran en $Q$. Demuestra que las líneas $AD, BP$ y $CQ$ son concurrentes (o todas paralelas).

Sea $p > 3$ un número primo, y sea $F_p$ el conjunto (finito) de clases de residuos módulo $p$ . Sea $S_d$ el conjunto de polinomios de $2$ variables $P(x, y)$ con coeficientes en $F_p$ , grado total $\le d$ , y que satisfacen $P(x, y) = P(y,- x -y)$ . Demuestre que $$|S_d| = p^{\lceil (d+1)(d+2)/6 \rceil}$$ . El grado total de un polinomio de $2$ variables $P(x, y)$ es el valor más grande de $i + j$ entre los monomios $x^iy^j$ que aparecen en $P$ .

Determine todos los enteros $n \ge 3$ cuya expansión decimal tiene menos de $20$ dígitos, tales que todo no residuo cuadrático módulo $n$ es una raíz primitiva módulo $n$ . Un entero $a$ es un no residuo cuadrático módulo $n$ , si no hay un entero $b$ tal que $a - b^2$ es divisible por $n$ . Un entero $a$ es una raíz primitiva módulo $n$ , si para todo entero $b$ relativamente primo con n existe un entero positivo $k$ tal que $a^k - b$ es divisible por $n$ .

Una función $ f:\mathbb{R}_{\ge 0}\longrightarrow\mathbb{R} $ tiene la propiedad que $ \lim_{x\to\infty } \frac{1}{x^2}\int_0^x f(t)dt=1. $ a) Da un ejemplo de lo que $ f $ podría ser si es continua y $ f/\text{id.} $ no tiene un límite en $ \infty . $ b) Prueba que si $ f $ es no decreciente entonces $ f/\text{id.} $ tiene un límite en $ \infty , $ y determínalo.

Sea $G$ un grupo finito con la siguiente propiedad: Si $f$ es un automorfismo de $G$ , entonces existe $m\in\mathbb{N^\star}$ , de modo que $f(x)=x^{m} $ para todo $x\in G$ . Prueba que G es conmutativo.

Sea un número natural $ n $ y $ 2n $ números reales $ b_1,b_2,\ldots ,b_n,a_1<a_2<\cdots <a_n. $ Muestra que a) si $ b_1,b_2,\ldots ,b_n>0, $ entonces existe un polinomio $ f\in\mathbb{R}[X] $ irreducible en $ \mathbb{R}[X] $ tal que $$ f\left( a_i \right) =b_i,\quad\forall i\in\{ 1,2,\ldots ,n \} . $$ b) existe un polinomio $ g\in\mathbb{R} [X] $ de grado al menos $ 1 $ que tiene sólo raíces reales y tal que $$ g\left( a_i \right) =b_i,\quad\forall i\in\{ 1,2,\ldots ,n \} . $$

a) Sea una función continua $ f:\mathbb{R}_{\ge 0}\longrightarrow\mathbb{R}_{>0} . $ Muestra que existe un número natural $ n_0 $ y una sucesión de números reales positivos $ \left( x_n \right)_{n>n_0} $ que satisfacen la siguiente relación. $$ n\int_0^{x_n} f(t)dt=1,\quad n_0<\forall n\in\mathbb{N} $$ b) Prueba que la sucesión $ \left( nx_n \right)_{n> n_0} $ es convergente y encuentra su límite.