Sea una función $ f $ de clase $ \mathcal{C}^1[a,b] $ cuya derivada es positiva. Prueba que existe un número real $ c\in (a,b) $ tal que $$ f(f(b))-f(f(a))=(f'(c))^2(b-a) . $$

Sea un número natural $ n\ge 2 $ y dos $ n\times n $ matrices complejas $ A,B $ que satisfacen $ (AB)^3=O_n. $ ¿Implica esto que $ (BA)^3=O_n ? $

Sean dos números naturales $ n\ge 2, k, $ y $ k\quad n\times n $ matrices reales simétricas $ A_1,A_2,\ldots ,A_k. $ Entonces, las siguientes relaciones son equivalentes: $ 1)\quad \left| \sum_{i=1}^k A_i^2 \right| =0 $ $ 2)\quad \left| \sum_{i=1}^k A_iB_i \right| =0,\quad\forall B_1,B_2,\ldots ,B_k\in \mathcal{M}_n\left( \mathbb{R} \right) $ $ || $ denota el determinante.

Sea una función sobreyectiva $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ que tiene la propiedad que si la sucesión $ \left( f\left( x_n \right) \right)_{n\ge 1} $ es convergente, entonces la sucesión $ \left( x_n \right)_{n\ge 1} $ es convergente. Prueba que es continua.

Encuentra el número de funciones $ A\stackrel{f}{\longrightarrow } A $ para las cuales existen dos funciones $ A\stackrel{g}{\longrightarrow } B\stackrel{h}{\longrightarrow } A $ teniendo las propiedades que $ g\circ h =\text{id.} $ y $ h\circ g=f, $ donde $ B $ y $ A $ son dos conjuntos finitos.

$ \sin\frac{\pi }{4n}\ge \frac{\sqrt 2 }{2n} ,\quad \forall n\in\mathbb{N} $

Una función $ f:\mathbb{Q}_{>0}\longrightarrow\mathbb{Q} $ tiene la siguiente propiedad: $$ f(xy)=f(x)+f(y),\quad x,y\in\mathbb{Q}_{>0} $$ a) Demuestra que no hay funciones inyectivas con esta propiedad. b) ¿Existen funciones sobreyectivas que tengan esta propiedad?

Resuelve en el conjunto de los números reales la ecuación $ a^{[ x ]} +\log_a\{ x \} =x , $ donde $ a $ es un número real del intervalo $ (0,1). $ $ [] $ y $ \{\} $ denotan la parte entera, respectivamente, la parte fraccionaria.

Sean dos números naturales $ b>a>0 $ y una función $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ teniendo la siguiente propiedad. $$ f\left( x^2+ay\right)\ge f\left( x^2+by\right) ,\quad\forall x,y\in\mathbb{R} $$ a) Muestra que $ f(s)\le f(0)\le f(t) , $ para cualquier número real $ s<0<t. $ b) Prueba que $ f $ es constante en el intervalo $ (0,\infty ) . $ c) Da un ejemplo de una función no monótona tal.

Sean dos números naturales $ n $ y $ a. $ a) Prueba que existe un $ n\text{-upla} $ de números naturales $ \left( a_1,a_2,\ldots ,a_n\right) $ que satisfacen la siguiente igualdad. $$ 1+\frac{1}{a} =\prod_{i=1}^n \left( 1+\frac{1}{a_i} \right) $$ b) Muestra que existen sólo finitamente tales $ n\text{-uplas} . $