Determina todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que son diferenciables en $0$ y satisfacen la siguiente desigualdad para todos los números reales $x,y$ $\[f(x+y)+f(xy)\geq f(x)+f(y).\]

Sea $\mathcal{F}$ el conjunto de pares de matrices $(A,B)\in\mathcal{M}_2(\mathbb{Z})\times\mathcal{M}_2(\mathbb{Z})$ para los cuales existe algún entero positivo $k$ y matrices $C_1,C_2,\ldots, C_k\in\{A,B\}$ tales que $C_1C_2\cdots C_k=O_2.$ Para cada $(A,B)\in\mathcal{F},$ sea $k(A,B)$ denote el entero positivo mínimo $k$ que satisface la última propiedad. Sea $(A,B)\in\mathcal{F}$ con $\det(A)=0,\det(B)\neq 0$ y $k(A,B)=p+2$ para algún $p\in\mathbb{N}^*.$ Muestra que $AB^pA=O_2.$ Demuestra que para cualquier $k\geq 3$ existe un par $(A,B)\in\mathcal{F}$ tal que $k(A,B)=k.$

Sea $f:[0,1]\to(0,1)$ una función sobreyectiva. Demuestra que $f$ tiene al menos un punto de discontinuidad. Dado que $f$ admite un límite en cualquier punto del intervalo $[0,1],$ demuestra que tiene al menos dos puntos de discontinuidad.

Sea $X$ un conjunto con $n\ge 2$ elementos. Define $\mathcal{P}(X)$ como el conjunto de todos los subconjuntos de $X$. Encuentra el número de funciones $f:\mathcal{P}(X)\mapsto \mathcal{P}(X)$ tales que $$\left|f(A)\cap f(B)\right|=|A\cap B|$$ siempre que $A$ y $B$ sean dos subconjuntos distintos de $X$.

Sea $Z\subset \mathbb{C}$ un conjunto de $n$ números complejos, $n\geqslant 2.$ Demuestra que para cualquier entero positivo $m$ que satisface $m\leqslant n/2$ existe un subconjunto $U$ de $Z$ con $m$ elementos tal que $\[\Bigg|\sum_{z\in U}z\Bigg|\leqslant\Bigg|\sum_{z\in Z\setminus U}z\Bigg|.\]

Sean $z_1$ y $z_2$ números complejos. Demuestra que $\[|z_1+z_2|+|z_1-z_2|\leqslant |z_1|+|z_2|+\max\{|z_1|,|z_2|\}.\]

Sea $a\neq 1$ un número real positivo. Encuentra todas las soluciones reales a la ecuación $a^x=x^x+\log_a(\log_a(x)).$

Sean $a<b<c<d$ enteros positivos que satisfacen $ad=bc.$ Demuestra que $2a+\sqrt{a}+\sqrt{d}<b+c+1.$

Determina todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ para las cuales existe una función $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $f(x)+f(y)=\lfloor g(x+y)\rfloor$ para todos los números reales $x$ e $y$.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A=90^\circ.$ Sea $A'$ el punto medio de $BC,$ $M$ el punto medio de la altura $AD$ y $P$ la intersección de $BM$ y $AA'.$ Demuestra que $\tan\angle PCB=\sin C\cdot\cos C.$