Sean $a,b$ enteros positivos. Demuestra que la ecuación $x^2+(a+b)^2x+4ab=1$ tiene soluciones racionales si y solo si $a=b$.

Sean $m$ y $n$ dos enteros positivos para los cuales $m<n$ . $n$ puntos distintos $X_1,\ldots , X_n$ están en el interior del disco unitario y al menos uno de ellos está en su borde. Pruebe que podemos encontrar $m$ puntos distintos $X_{i_1},\ldots , X_{i_m}$ de modo que la distancia entre su centro de gravedad y el centro del círculo sea al menos $\frac{1}{1+2m(1- 1/n)}$ .

Sea $n$ un entero positivo. Encuentre el valor de la siguiente suma \n\[\sum_{(n)}\sum_{k=1}^n {e_k2^{e_1+\cdots+e_k-2k-n}},\]\ndonde $e_k\in\{0,1\}$ para $1\leq k \leq n$ , y la suma $\sum_{(n)}$ se toma sobre todas las $2^n$ posibles elecciones de $e_1,\ldots ,e_n$ .

Encuentre todas las triples $(a,b,c)$ de enteros positivos con la siguiente propiedad: para cada primo $p$ , si $n$ es un residuo cuadrático $\mod p$ , entonces $an^2+bn+c$ es un residuo cuadrático $\mod p$ .

Determine todos los conjuntos finitos $S$ de puntos en el plano con la siguiente propiedad: si $x,y,x',y'\in S$ y los segmentos cerrados $xy$ y $x'y'$ se intersecan en solo un punto, a saber, $z$ , entonces $z\in S$ .

Sean $f, g:\mathbb{Z}\rightarrow [0,\infty )$ dos funciones tales que $f(n)=g(n)=0$ con la excepción de finitamente muchos enteros $n$ . Defina $h:\mathbb{Z}\rightarrow [0,\infty )$ por \n\[h(n)=\max \{f(n-k)g(k): k\in\mathbb{Z}\}.\]\nSean $p$ y $q$ dos reales positivos tales que $1/p+1/q=1$ . Pruebe que \n\[ \sum_{n\in\mathbb{Z}}h(n)\geq \Bigg(\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)^p\Bigg)^{1/p}\Bigg(\sum_{n\in\mathbb{Z}}g(n)^q\Bigg)^{1/q}.\]

Sea $\Delta ABC$ un triángulo. Las bisectrices internas de los ángulos $\angle CAB$ y $\angle ABC$ intersecan los segmentos $BC$ , respectivamente $AC$ en $D$ , respectivamente $E$ . Pruebe que \n\[DE\leq (3-2\sqrt{2})(AB+BC+CA).\]

Sea $S$ un conjunto de enteros positivos, cada uno de ellos teniendo exactamente $100$ dígitos en representación base $10$ . Un elemento de $S$ se llama átomo si no es divisible por la suma de dos cualesquiera elementos de $S$ (no necesariamente distintos). Si $S$ contiene a lo sumo $10$ átomos, ¿como máximo cuántos elementos puede tener $S$?

Sean $a_1$ , $\ldots$ , $a_n$ enteros positivos y $a$ un entero positivo que es mayor que $1$ y es divisible por el producto $a_1a_2\ldots a_n$ . Pruebe que $a^{n+1}+a-1$ no es divisible por el producto $(a+a_1-1)(a+a_2-1)\ldots(a+a_n-1)$ .

Sea $\gamma$ un círculo y $l$ una línea en su plano. Sea $K$ un punto en $l$ , ubicado fuera de $\gamma$ . Sean $KA$ y $KB$ las tangentes desde $K$ a $\gamma$ , donde $A$ y $B$ son puntos distintos en $\gamma$ . Sean $P$ y $Q$ dos puntos en $\gamma$ . Las líneas $PA$ y $PB$ intersecan la línea $l$ en dos puntos $R$ y respectivamente $S$ . Las líneas $QR$ y $QS$ intersecan la segunda vez al círculo $\gamma$ en los puntos $C$ y $D$ . Pruebe que las tangentes desde $C$ y $D$ a $\gamma$ son concurrentes en la línea $l$ .