Se da un entero $k\geq 2$ . Determina el entero positivo más pequeño $n$ , tal que, entre cualesquiera $n$ puntos en el plano, existen $k$ puntos entre ellos, tales que todas las distancias entre ellos son menores o iguales a $2$ , o todas las distancias son estrictamente mayores que $1$ .

¿Puede cada número racional positivo $q$ ser escrito como $$\frac{a^{2021} + b^{2023}}{c^{2022} + d^{2024}},$$ donde $a, b, c, d$ son todos enteros positivos?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB < AC$ . Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita de $ABC$ y asuma que la tangente a $\omega$ en $A$ intersecta la línea $BC$ en $D$ . Sea $\Omega$ el círculo con centro $D$ y radio $AD$ . Denotemos por $E$ el segundo punto de intersección de $\omega$ y $\Omega$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ . Si la línea $BE$ se encuentra con $\Omega$ de nuevo en $X$ , y la línea $CX$ se encuentra con $\Omega$ por segunda vez en $Y$ , demuestra que $A, Y$ , y $M$ son colineales.

Sea $n \geq 2$ un entero y sea \[M=\bigg{\frac{a_1 + a_2 + ... + a_k}{k}: 1 \le k \le n\text{ y }1 \le a_1 < \ldots < a_k \le n\bigg}\] el conjunto de las medias aritméticas de los elementos de todos los subconjuntos no vacíos de $\{1, 2, ..., n\}$ . Encuentra \[\min\{|a - b| : a, b \in M\text{ con } a \neq b\}.\]

Se dan reales positivos $x_1, x_2,..., x_n$ tales que $\sum\frac {1}{1+x_i^2}=1$ . Encuentra el valor mínimo de la expresión $\frac{\sum x_i}{\sum \frac{1}{x_i}}$ y encuentra cuando se alcanza.

Sea $(R,+,\cdot)$ un anillo con centro $Z=\{a\in\mathbb{R}:ar=ra,\forall r\in\mathbb{R}\}$ con la propiedad de que el grupo $U=U(R)$ de sus elementos invertibles es finito. Dado que $G$ es el grupo de automorfismos del grupo aditivo $(R,+),$ demuestra que $\[|G|\geq\frac{|U|^2}{|Z\cap U|}.\]

Sean $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dos funciones no decrecientes. Demuestra que para cualquier $a\in\mathbb{R},$ $b\in[f(a-0),f(a+0)]$ y $x\in\mathbb{R},$ la siguiente desigualdad se cumple $\[\int_a^xf(t) \ dt\geq b(x-a).\] Dado que $[f(a-0),f(a+0)]\cap[g(a-0),g(a+0)]\neq\emptyset$ para cualquier $a\in\mathbb{R},$ demuestra que para cualquier número real $a<b$ $\[\int_a^b f(t) \ dt=\int_a^b g(t) \ dt.\] Nota: $h(a-0)$ y $h(a+0)$ denotan los límites a la izquierda y a la derecha respectivamente de una función $h$ en el punto $a\in\mathbb{R}.$

Determina todos los anillos $(A,+,\cdot)$ tales que $x^3\in\{0,1\}$ para cualquier $x\in A.$

Sea $\mathcal{F}$ el conjunto de funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $f(2x)=f(x)$ para todo $x\in\mathbb{R}.$ Determina todas las funciones $f\in\mathcal{F}$ que admiten antiderivadas en $\mathbb{R}.$ Da un ejemplo de una función no constante $f\in\mathcal{F}$ que es integrable en cualquier intervalo $[a,b]\subset\mathbb{R}$ y satisface $\[\int_a^bf(x) \ dx=0\] para todos los números reales $a$ y $b.$

Sean $A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ tales que $A^2+B^2=2AB.$ Demuestra que para cualquier número complejo $x$ $\[\det(A-xI_n)=\det(B-xI_n).\]