Todos los vértices de un pentágono convexo están en puntos reticulares. Demuestra que el área del pentágono es al menos $\frac{5}{2}$ .

Se nos da un triángulo isósceles $ABC$ tal que $BC=a$ y $AB=BC=b$ . Los puntos variables $M\in (AC)$ y $N\in (AB)$ satisfacen $a^2\cdot AM \cdot AN = b^2 \cdot BN \cdot CM$ . Las líneas rectas $BM$ y $CN$ se intersecan en $P$ . Encuentra el lugar geométrico del punto variable $P$ .

Considera en el plano un conjunto finito de segmentos tales que la suma de sus longitudes es menor que $\sqrt{2}$ . Demuestra que existe una cuadrícula cuadrada unitaria infinita que cubre el plano tal que las líneas que definen la cuadrícula no intersectan ninguno de los segmentos.

Sea $m\ge 2$ un entero. Encuentra el entero positivo más pequeño $n>m$ tal que para cualquier partición con dos clases del conjunto $ \{ m,m+1,\ldots ,n \} $ al menos una de estas clases contiene tres números $a,b,c$ (no necesariamente diferentes) tales que $a^b=c$ .

Un paralelepípedo tiene un área de superficie de 216 y un volumen de 216. Demuestra que es un cubo.

Una palabra de longitud $n$ es una secuencia ordenada $x_1x_2\ldots x_n$ donde $x_i$ es una letra del conjunto $ \{ a,b,c \} $ . Denotemos por $A_n$ el conjunto de palabras de longitud $n$ que no contienen ningún bloque $x_ix_{i+1}, i=1,2,\ldots ,n-1,$ de la forma $aa$ o $bb$ y por $B_n$ el conjunto de palabras de longitud $n$ en las que ninguna de las subsecuencias $x_ix_{i+1}x_{i+2}, i=1,2,\ldots n-2,$ contiene todas las letras $a,b,c$ . Demuestra que $|B_{n+1}|=3|A_n|$ .

En el paralelepípedo rectangular $ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ , con $AB=12\sqrt{3}$ cm y $AA^{\prime}=18$ cm, consideramos los puntos $P\in AA^{\prime}$ y $N\in A^{\prime}B^{\prime}$ tales que $A^{\prime}N=3B^{\prime}N$ . Determinar la longitud del segmento de línea $AP$ tal que para cualquier posición del punto $M\in BC$ , el triángulo $MNP$ es rectángulo en $N$ .

Sea $(G,\cdot)$ un grupo sin elementos de orden 4, y sea $f:G\rightarrow G$ un morfismo de grupo tal que $f(x)\in\{x,x^{-1}\}$ , para todo $x\in G$ . Demostrar que o bien $f(x)=x$ para todo $x\in G$ , o bien $f(x)=x^{-1}$ para todo $x\in G$ .

Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo unitario con la propiedad: para todo $x\in A$ , \[ x+x^{2}+x^{3}=x^{4}+x^{5}+x^{6} ] Sea $x\in A$ y sea $n\geq2$ un entero tal que $x^{n}=0$ . Demostrar que $x=0$ . Demostrar que $x^{4}=x$ , para todo $x\in A$ .

Sea $f:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}}$ una función diferenciable, con derivada continua, y sea \[ s_{n}=\sum_{k=1}^{n}f\left( \frac{k}{n}\right) ] Demostrar que la secuencia $(s_{n+1}-s_{n})_{n\in{\mathbb{N}^{\ast}}}$ converge a $\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x$ .