Para cada entero positivo $n$ consideramos la función $f_{n}:[0,n]\rightarrow{\mathbb{R}}$ definida por $f_{n}(x)=\arctan{\left(\left\lfloor x\right\rfloor \right)} $ , donde $\left\lfloor x\right\rfloor $ denota la parte entera del número real $x$ . Demostrar que $f_{n}$ es una función integrable de Riemann y encontrar $\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\frac{1}{n}\int_{0}^{n}f_{n}(x)\mathrm{d}x.$

Sea $K$ un campo finito con $q$ elementos y sea $n \ge q$ un entero. Encuentra la probabilidad de que al elegir un polinomio de grado $n$ con coeficientes en $K,$ no tenga ninguna raíz en $K.$

Sea $ f:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R} $ una función continua tal que $$ \int_0^1 (x-1)f(x)dx =0. $$ Muestra que: a) Existe $ a\in (0,1) $ tal que $ \int_0^a xf(x)dx =0. $ b) Existe $ b\in (0,1) $ de modo que $ \int_0^b xf(x)dx=bf(b). $

Demuestra que en un anillo abeliano $ A $ en el que $ 1\neq 0, $ cada elemento es idempotente si y solo si el número de funciones polinómicas de $ A $ a $ A $ es igual al cuadrado del cardinal de $ A. $

Sea $ f:[0,\infty )\longrightarrow [0,\infty ) $ una función no creciente que satisface la desigualdad: $$ \int_0^x f(t)dt <1,\quad\forall x\ge 0. $$ Prueba las siguientes afirmaciones: a) $ \exists \lim_{x\to\infty} \int_0^x f(t)dt \in\mathbb{R} . $ b) $ \lim_{x\to\infty} xf(x) =0. $

a) Demuestra que la función $F:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\ F(x)=2\lfloor x\rfloor-\cos(3\pi\{x\})$ es continua sobre $\mathbb{R}$ y para cualquier $y\in \mathbb{R}$ , la ecuación $F(x)=y$ tiene exactamente tres soluciones. b) Sea $k$ un entero par positivo. Demuestra que no existe una función $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f$ sea continua sobre $\mathbb{R}$ y que para cualquier $y\in \text{Im}\ f$ , la ecuación $f(x)=y$ tiene exactamente $k$ soluciones $(\text{Im}\ f=f(\mathbb{R}))$ .

Sea $(x_n)_{n\ge 1}$ una secuencia definida por $x_1=2,\ x_{n+1}=\sqrt{x_n+\frac{1}{n}},\ (\forall)n\in \mathbb{N}^*$ . Demuestra que $\lim_{n\to \infty} x_n=1$ y evalúa $\lim_{n\to \infty} x_n^n$ .

Sea $n\in \mathbb{N}^*$ y una matriz $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\ A=(a_{ij})_{1\le i, j\le n}$ tal que: $$a_{ij}+a_{jk}+a_{ki}=0,\ (\forall)i,j,k\in \{1,2,\ldots,n\}$$ Demuestra que $\text{rank}\ A\le 2$ .

Sean $A,B,C\in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ tales que $\det A=\det B=\det C$ y $\det(A+iB)=\det(C+iA)$ . Demuestra que $\det (A+B)=\det (C+A)$ .

a) Sean $ z_1,z_2,z_3 $ tres números complejos del mismo valor absoluto, y $ 0=z_1+z_2+z_3. $ Muestra que estos representan las afijas de un triángulo equilátero. b) Encuentra todos los subconjuntos formados por raíces de la misma unidad que tienen la propiedad de que cualesquiera tres elementos de cada uno de estos no representan los vértices de un triángulo equilátero.