Sea $ A $ el conjunto de soluciones reales de la ecuación $ 3^x=x+2, $ y sea el conjunto $ B $ de soluciones reales de la ecuación $ \log_3 (x+2) +\log_2 \left( 3^x-x \right) =3^x-1 . $ Prueba la validez de los siguientes subpuntos: a) $ A\subset B. $ b) $ B\not\subset\mathbb{Q} \wedge B\not\subset \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} . $

Encuentra los números complejos $ z_1,z_2,z_3 $ del mismo valor absoluto que tienen la propiedad de que: $$ 1=z_1z_2z_3=z_1+z_2+z_3. $$

Sean $ f,g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ funciones con la propiedad de que $$ f\left( g(x) \right) =g\left( f(x) \right) =-x,\quad\forall x\in\mathbb{R} $$ a) Muestra que $ f,g $ son impares. b) Da un ejemplo concreto de tales $ f,g. $

Encuentra las funciones $ f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N} $ tales que: $$ \frac{f(x+y)+f(x)}{2x+f(y)} =\frac{2y+f(x)}{f(x+y)+f(y)} ,\quad\forall x,y\in\mathbb{N} . $$

a) Para $ a,b\ge 0 $ y $ x,y>0, $ muestra que: $$ \frac{a^3}{x^2} +\frac{b^3}{y^2}\ge \frac{(a+b)^3}{(x+y)^2} . $$ b) Para $ a,b,c\ge 0 $ y $ x,y,z>0 $ bajo la condición $ a+b+c=x+y+z, $ prueba que: $$ \frac{a^3}{x^2} +\frac{b^3}{y^2} +\frac{c^3}{z^2} \ge a+b+c. $$

Los números del $1$ al $100$ están escritos en la pizarra. ¿Es posible tachar $10$ números de tal manera que no podamos seleccionar $10$ números del resto que formen una progresión aritmética?

En los lados $ AB $ y $ AC $ del triángulo $ ABC $ considera los puntos $ D, $ respectivamente, $ E, $ tales que $$ \overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DB} +\overrightarrow{EA} +\overrightarrow{EC} =\overrightarrow{O} . $$ Si $ T $ es la intersección de $ DC $ y $ BE, $ determina el número real $ \alpha $ tal que: $$ \overrightarrow{TB} +\overrightarrow{TC} =\alpha\cdot\overrightarrow{TA} . $$

Los números enteros positivos a y b satisfacen $(a^2- 9b^2)^2 - 33b = 1$ . a) Demuestra $|a -3b|\ge 1$ . b) Encuentra todos los pares de enteros positivos $(a, b)$ que satisfacen la igualdad.

Considera el prisma cuadrilátero regular $ABCDA'B'C 'D'$ , en el que $AB = a,AA' = \frac{a \sqrt {2}}{2}$ , y $M$ es el punto medio de $B' C'$ . Sea $F$ el pie de la perpendicular desde $B$ en la línea $MC$ , Determina la medida del ángulo entre los planos $(BDF)$ y $(HBS)$ .

Los números reales $a, b, c, d, e$ , tienen la propiedad $$|a - b| = 2|b -c| = 3|c - d| = 4|d- e| = 5|e - a|.$$ Demuestra que todos son iguales.