Prueba que para cualquier número real positivo $\alpha$ , el número $\lfloor\alpha n^2\rfloor$ es par para infinitos enteros positivos $n$.

Dispuestos en un círculo hay $2010$ dígitos, cada uno de ellos igual a $1$ , $2$ , o $3$ . Para cada entero positivo $k$ , se sabe que en cualquier bloque de $3k$ dígitos consecutivos, cada uno de los dígitos aparece a lo sumo $k+10$ veces. Demuestra que hay un bloque de varios dígitos consecutivos con el mismo número de $1$ s , $2$ s , y $3$ s .

En el triángulo acutángulo $ABC$ , sea $H$ su ortocentro y sea $D$ un punto en el lado $BC$ . Sea $P$ el punto tal que $ADPH$ es un paralelogramo. Demuestra que $\angle DCP<\angle BHP$.

Misha y Sahsa juegan un juego en un tablero de ajedrez de $100\times 100$. Primero, Sasha coloca $50$ reyes en el tablero, y Misha coloca una torre, y luego se mueven por turnos, como sigue (Sasha comienza): En su movimiento, Sasha mueve cada uno de los reyes una casilla en cualquier dirección, y Misha puede mover la torre en la horizontal o vertical cualquier número de casillas. Los reyes no pueden ser capturados ni saltados. El propósito de Sasha es capturar la torre, y el de Misha es evitar la captura. ¿Existe una estrategia ganadora disponible para Sasha?

En el círculo con centro 0 y radio 1, el punto $A_0$ está fijo y los puntos $A_1, A_2, \ldots, A_{999}, A_{1000}$ están distribuidos de tal manera que el ángulo $\angle A_00A_k = k$ (en radianes). Corte el círculo en los puntos $A_0, A_1, \ldots, A_{1000}.$ ¿Cuántos arcos con diferentes longitudes se obtienen?

Sea $l(z) = Az + B$ un binomio lineal con coeficientes complejos $A$ y $B$. Se sabe que el valor máximo de $|l(z)|$ en el segmento $-1 \leq x \leq 1$ $(y = 0)$ de la recta real en el plano complejo $z = x + iy$ es igual a $M$. Demuestre que para todo $z$ \[|l(z)| \leq M \rho,\] donde $\rho$ es la suma de las distancias desde el punto $P=z$ a los puntos $Q_1: z = 1$ y $Q_3: z = -1.$

Sean $a_1,\ldots,a_8$ números reales, no todos iguales a cero. Sea $ c_n = \sum^8_{k=1} a^n_k$ para $n=1,2,3,\ldots$ . Dado que entre los números de la secuencia $(c_n)$ , hay infinitos iguales a cero, determina todos los valores de $n$ para los cuales $c_n = 0.$

En un grupo de intérpretes, cada uno habla uno de varios idiomas extranjeros, 24 de ellos hablan japonés, 24 malayo, 24 farsi. Demuestra que es posible seleccionar un subgrupo en el que exactamente 12 intérpretes hablan japonés, exactamente 12 hablan malayo y exactamente 12 hablan farsi.

Encuentra todas las $x$ para las cuales, para toda $n,$ $\sum^n_{k=1} \sin {k x} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}.$

¿Es posible encontrar un conjunto de $100$ (o $200$) puntos en la frontera de un cubo tal que este conjunto permanezca fijo bajo todas las rotaciones que dejan el cubo fijo?