Olimpiada Balcánica Juvenil 2007 Problema 1
Llamamos a un mosaico de un rectángulo de $m \times n$ con esquinas (ver figura abajo) 'regular' si no hay sub-rectángulo que esté embaldosado con esquinas. Demuestra que si para algunos $m$ y $n$ existe un mosaico 'regular' del rectángulo de $m \times n$, entonces también existe un mosaico 'regular' para el rectángulo de $2m \times 2n$.
6
0
Olimpiada Balcánica Juvenil 2007 Problema 5
Los números reales $x,y,z, m, n$ son positivos, tal que $m + n \ge 2$ . Demuestra que $x\sqrt{yz(x + my)(x + nz)} + y\sqrt{xz(y + mx)(y + nz)} + z\sqrt{xy(z + mx)(x + ny) }\le \frac{3(m + n)}{8}(x + y)(y + z)(z + x)$
6
0
Olimpiada Junior de los Balcanes - Lista Corta 2007 Problema 4
Sean $a$ y $ b$ enteros positivos mayores que $2$ . Demuestre que existe un entero positivo $k$ y una secuencia $n_1, n_2, ..., n_k$ que consta de enteros positivos, tal que $n_1 = a,n_k = b$ , y $(n_i + n_{i+1}) | n_in_{i+1}$ para todo $i = 1,2,..., k - 1$
5
0
Olimpiada Junior de los Balcanes - Lista Corta 2007 Problema 3
Sea $A$ un conjunto de enteros positivos que contiene el número $1$ y al menos un elemento más. Dado que para dos elementos diferentes $m, n$ de $A$ el número $\frac{m+1 }{(m+1,n+1) }$ también es un elemento de $A$ , demuestre que $A$ coincide con el conjunto de enteros positivos.
5
0
Olimpiada Junior de los Balcanes - Lista Corta 2007 Problema 2
Demuestre que para todos los reales positivos $a,b,c$ se cumple que $\frac{a^2-bc}{2a^2+bc}+\frac{b^2-ca}{2b^2+ca}+\frac{c^2-ab}{2c^2+ab}\leq 0$
5
0
Olimpiada Junior de los Balcanes - Lista Corta 2007 Problema 1
Sea $a$ un número real positivo tal que $a^{3}=6(a+1)$ . Demuestre que la ecuación $x^{2}+ax+a^{2}-6=0$ no tiene solución real.
5
0
Olimpiada Tuymaada 2010 Problema 8
En un país hay $4^9$ escolares viviendo en cuatro ciudades. Al final del año escolar se realizó un examen estatal en 9 asignaturas. Se sabe que dos estudiantes cualesquiera tienen diferentes notas al menos en una asignatura. Sin embargo, cada dos estudiantes de la misma ciudad obtuvieron notas iguales al menos en una asignatura. Prueba que hay una asignatura tal que cada dos niños que viven en la misma ciudad tienen notas iguales en esta asignatura.
5
0
Olimpiada Tuymaada 2010 Problema 7
En un cuadrilátero cíclico $ABCD$ , las extensiones de los lados $AB$ y $CD$ se encuentran en el punto $P$ , y las extensiones de los lados $AD$ y $BC$ se encuentran en el punto $Q$ . Demuestra que la distancia entre los ortocentros de los triángulos $APD$ y $AQB$ es igual a la distancia entre los ortocentros de los triángulos $CQD$ y $BPC$ .
5
0
Olimpiada Tuymaada 2010 Problema 6
Para un entero positivo $n$ dado, se sabe que existen $2010$ enteros positivos consecutivos tales que ninguno de ellos es divisible por $n$ pero su producto es divisible por $n$ . Demuestra que existen $2004$ enteros positivos consecutivos tales que ninguno de ellos es divisible por $n$ pero su producto es divisible por $n$ .
5
0
Olimpiada Tuymaada 2010 Problema 5
El barón Münchausen se jacta de que conoce un trinomio cuadrático notable con coeficientes positivos. El trinomio tiene una raíz entera; si todos sus coeficientes se incrementan en $1$ , el trinomio resultante también tiene una raíz entera; y si todos sus coeficientes también se incrementan en $1$ , el nuevo trinomio, también, tiene una raíz entera. ¿Puede ser esto cierto?
6
0