Sean $a, b$ dos enteros positivos coprimos. Un número se llama bueno si puede ser escrito en la forma $ax + by$ para enteros no negativos $x, y$ . Definir la función $f : Z\to Z $ como $f(n) = n - n_a - n_b$ , donde $s_t$ representa el resto de $s$ al dividirlo por $t$ . Mostrar que un entero $n$ es bueno si y sólo si la secuencia infinita $n, f(n), f(f(n)), ...$ contiene sólo enteros no negativos.

Sea $n > 1$ un entero positivo y $p$ un número primo tal que $n | (p - 1) $ y $p | (n^6 - 1)$ . Demostrar que al menos uno de los números $p- n$ y $p + n$ es un cuadrado perfecto.

Demostrar que la ecuación $x^{2006} - 4y^{2006} -2006 = 4y^{2007} + 2007y$ no tiene solución en el conjunto de los enteros positivos.

Encontrar todos los pares de enteros positivos $(x, y)$ tales que $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{[x, y]}+\frac{1}{(x, y)}=\frac{1}{2}$ , donde $(x, y)$ es el máximo común divisor de $x, y$ y $[x, y]$ es el mínimo común múltiplo de $x, y$ .

Sea $S$ un punto dentro de $\angle pOq$ , y sea $k$ una circunferencia que contiene a $S$ y toca los lados $Op$ y $Oq$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. La línea recta $s$ paralela a $Op$ desde $S$ interseca a $Oq$ en un punto $R$ . Sea $T$ el punto de intersección del rayo $PS$ y la circunferencia circunscrita de $\vartriangle SQR$ y $T \ne S$ . Prueba que $OT // SQ$ y $OT$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $\vartriangle SQR$ .

Sea la circunferencia inscrita del triángulo $\vartriangle ABC$ que toca el lado $BC$ en $M$ , el lado $CA$ en $N$ y el lado $AB$ en $P$ . Sea $D$ un punto de $\left[ NP \right]$ tal que $\frac{DP}{DN}=\frac{BD}{CD}$ . Muestra que $DM \perp PN$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle{DAC}= \angle{BDC}= 36^\circ$ , $\angle{CBD}= 18^\circ$ y $\angle{BAC}= 72^\circ$ . Las diagonales se intersecan en el punto $P$ . Determina la medida de $\angle{APD}$ .

Sea $M$ un punto interior del triángulo $ABC$ con $<BAC=70$ y $<ABC=80$. Si $<ACM=10$ y $<CBM=20$. Demuestra que $AB=MC$

Se dan el entero no negativo $n$ y un tablero de ajedrez de $(2n + 1) \times (2n + 1)$ con cuadrados coloreados alternativamente en blanco y negro. Para cada número natural $m$ con $1 < m < 2n+1$, un cuadrado de $m \times m$ del tablero de ajedrez dado que tiene más de la mitad de su área coloreada en negro, se llama cuadrado $B$. Si el tablero de ajedrez dado es un cuadrado $B$, halla en términos de $n$ el número total de cuadrados $B$ de este tablero de ajedrez.

Se dan $50$ puntos en el plano, no tres de ellos pertenecientes a una misma línea. Cada uno de estos puntos está coloreado usando uno de cuatro colores dados. Demuestra que hay un color y al menos $130$ triángulos escalenos con vértices de ese color.