Hay $1001$ puntos en el plano tales que no hay tres colineales. Los puntos están unidos por $1001$ segmentos de línea tales que cada punto es un punto final de exactamente dos de los segmentos de línea. Demuestre que no existe una línea recta en el plano que interseca cada uno de los $1001$ segmentos en un punto interior. Un punto interior de un segmento de línea es un punto del segmento de línea que no es uno de los dos puntos finales.

Sea $\mathbb{N}_{\ge 1}$ el conjunto de los enteros positivos. Encuentra todas las funciones $f \colon \mathbb{N}_{\ge 1} \to \mathbb{N}_{\ge 1}$ tal que, para todos los enteros positivos $m$ y $n$ :\n(a) $n = \left(f(2n)-f(n)\right)\left(2 f(n) - f(2n)\right)$ ,\n(b ) $f(m)f(n) - f(mn) = \left(f(2m)-f(m)\right)\left(2 f(n) - f(2n)\right) + \left(f(2n)-f(n)\right)\left(2 f(m) - f(2m)\right)$ ,\n(c) $m-n$ divide a $f(2m)-f(2n)$ si $m$ y $n$ son números primos impares distintos.

Sea $ABCD$ un cuadrado con incírculo $\Gamma$ . Sea $M$ el punto medio del segmento $[CD]$ . Sea $P \neq B$ un punto en el segmento $[AB]$ . Sea $E \neq M$ el punto en $\Gamma$ tal que $(DP)$ y $(EM)$ son paralelos. Las líneas $(CP)$ y $(AD)$ se intersecan en $F$ . Demuestre que la línea $(EF)$ es tangente a $\Gamma$

Alberto y Beatriz juegan un juego. $2021$ piedras yacen en una mesa. Empezando con Alberto, alternativamente remueven piedras de la mesa, mientras obedecen la siguiente regla. En el $n$ -ésimo turno, el jugador activo (Alberto si $n$ es impar, Beatriz si $n$ es par) puede remover de $1$ a $n$ piedras. Así, Alberto primero remueve $1$ piedra; entonces, Beatriz puede remover $1$ o $2$ piedras, como ella desee; entonces, Alberto puede remover de $1$ a $3$ piedras, y así sucesivamente. El jugador que remueve la última piedra en la mesa pierde, y el otro gana. ¿Qué jugador tiene una estrategia para ganar sin importar los movimientos del otro jugador?

Sean $a_1,a_2,a_3,\ldots$ y $b_1,b_2,b_3,\ldots$ enteros positivos tales que $a_{n+2} = a_n + a_{n+1}$ y $b_{n+2} = b_n + b_{n+1}$ para todo $n \ge 1$ . Asuma que $a_n$ divide a $b_n$ para infinitamente muchos valores de $n$ . Demuestre que existe un entero $c$ tal que $b_n = c a_n$ para todo $n \ge 1$.

Sea $\mathbb{N}_{\geqslant 1}$ el conjunto de los enteros positivos. Encuentra todas las funciones $f \colon \mathbb{N}_{\geqslant 1} \to \mathbb{N}_{\geqslant 1}$ tal que, para todos los enteros positivos $m$ y $n$ :\n\[\mathrm{GCD}\left(f(m),n\right) + \mathrm{LCM}\left(m,f(n)\right) =\n\mathrm{GCD}\left(m,f(n)\right) + \mathrm{LCM}\left(f(m),n\right).\]\nNota: si $a$ y $b$ son enteros positivos, $\mathrm{GCD}(a,b)$ es el entero positivo más grande que divide tanto a $a$ como a $b$ , y $\mathrm{LCM}(a,b)$ es el entero positivo más pequeño que es múltiplo tanto de $a$ como de $b$.

Cada punto en el plano fue coloreado en rojo o azul. Demuestra que una de las siguientes afirmaciones es verdadera:\n$\\bullet$ existe dos puntos rojos a distancia $1$ uno del otro;\n$\\bullet$ existe cuatro puntos azules $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ , $B_4$ tal que los puntos $B_i$ y $B_j$ están a distancia $|i - j|$ uno del otro, para todos los enteros $i$ y $j$ tal que $1 \le i \le 4$ y $1 \le j \le 4$.

Evaristo ha dibujado doce triángulos como sigue, de forma que dos triángulos consecutivos comparten exactamente un lado. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/6/2/50377e7ad5fb1c40e36725e43c7eeb1e3c2849.png Sophie colorea cada lado del triángulo en rojo, verde o azul. Entre los $3^{24}$ posibles coloreados, ¿cuántos tienen la propiedad de que cada triángulo tiene un lado de cada color?

Sean $R$ y $S$ los números definidos por \[R = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{6} \times \cdots \times \dfrac{223}{224} \text{ y } S = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{5} \times \dfrac{6}{7} \times \cdots \times \dfrac{224}{225}.\] Demuestra que $R < \dfrac{1}{15} < S$.

Demuestra que si $p$ es un número primo, entonces $7p+3^{p}-4$ no es un cuadrado perfecto.