La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:41 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ (\log_2(x))^2 - 4 \cdot \log_2(x) - m^2 - 2m - 13 = 0$ una ecuación en $ x.$ Demuestre que: (a) Para cualquier valor real de $ m$ la ecuación tiene dos soluciones distintas. (b) El producto de las soluciones de la ecuación no depende de $ m.$ (c) Una de las soluciones de la ecuación es menor que 1, mientras que la otra solución es mayor que 1. Encuentre el valor mínimo de la solución mayor y el valor máximo de la solución menor. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. XbenX 590 publicaciones XbenX #1 h 30 de agosto de 2020, 6:19 a. m. • 1 Y Y por Rounak_iitr Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno con circuncírculo $\omega$ e incentro $I$. Suponga que el ortocentro $H$ de $BIC$ se encuentra dentro de $\omega$. Sea $M$ el punto medio del arco mayor $BC$ de $\omega$. Sea $N$ el punto medio del arco menor $AM$ de $\omega$. Demuestre que existe un círculo tangente a $\omega$ en $N$ y tangente a los circuncírculos de $BHI$ y $CHI$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 10:35 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Se escribe un número natural en cada casilla de un tablero de ajedrez de $ m \times n$. El movimiento permitido consiste en sumar un entero $ k$ a cada uno de dos números adyacentes de tal manera que se obtengan números no negativos. (Dos casillas son adyacentes si tienen un lado en común). Encuentre una condición necesaria y suficiente para que sea posible que todos los números sean cero después de un número finito de operaciones. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:56 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $ a, b, c, d,m, n \in \mathbb{Z}^+$ tales que \[ a^2+b^2+c^2+d^2 = 1989,\] \[ a+b+c+d = m^2,\] y el mayor de $ a, b, c, d$ es $ n^2.$ Determine, con demostración, los valores de $m$ y $ n.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:38 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dados dos números distintos $ b_1$ y $ b_2$ , su producto puede formarse de dos maneras: $ b_1 \times b_2$ y $ b_2 \times b_1.$ Dados tres números distintos, $ b_1, b_2, b_3,$ su producto puede formarse de doce maneras: $ b_1\times(b_2 \times b_3);$ $ (b_1 \times b_2) \times b_3;$ $ b_1 \times (b_3 \times b_2);$ $ (b_1 \times b_3) \times b_2;$ $ b_2 \times (b_1 \times b_3);$ $ (b_2 \times b_1) \times b_3;$ $ b_2 \times(b_3 \times b_1);$ $ (b_2 \times b_3)\times b_1;$ $ b_3 \times(b_1 \times b_2);$ $ (b_3 \times b_1)\times b_2;$ $ b_3 \times(b_2 \times b_1);$ $ (b_3 \times b_2) \times b_1.$ ¿De cuántas maneras puede formarse el producto de $ n$ letras distintas? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 10:03 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ \alpha$ la raíz positiva de la ecuación $ x^2 - 1989x - 1 = 0.$ Demuestre que existen infinitos números naturales $ n$ que satisfacen la ecuación: \[ \lfloor \alpha n + 1989 \alpha \lfloor \alpha n \rfloor \rfloor = 1989n + \left( 1989^2 + 1 \right) \lfloor \alpha n \rfloor.\] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 19 de nov. de 2005, 4:58 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que los lados $ AB, AD, BC$ satisfacen $ AB = AD + BC.$ Existe un punto $ P$ dentro del cuadrilátero a una distancia $ h$ de la recta $ CD$ tal que $ AP = h + AD$ y $ BP = h + BC.$ Demuestre que: \[ \frac {1}{\sqrt {h}} \geq \frac {1}{\sqrt {AD}} + \frac {1}{\sqrt {BC}} \] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:28 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Alice tiene dos urnas. Cada urna contiene cuatro bolas y en cada bola hay escrito un número natural. Ella extrae una bola de cada urna al azar, anota la suma de los números escritos en ellas y devuelve las bolas a las urnas de las que las tomó. Repite esto un gran número de veces. Bill, al examinar los números registrados, nota que la frecuencia con la que ocurre cada suma es la misma que si fuera la suma de dos números naturales extraídos al azar del rango de 1 a 4. ¿Qué puede deducir sobre los números en las bolas? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:32 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ f(x) = a \sin^2x + b \sin x + c,$ donde $ a, b$ y $ c$ son números reales. Encuentre todos los valores de $ a, b$ y $ c$ tales que las siguientes tres condiciones se satisfagan simultáneamente: (i) $ f(x) = 381$ si $ \sin x = \frac{1}{2}.$ (ii) El máximo absoluto de $ f(x)$ es $ 444.$ (iii) El mínimo absoluto de $ f(x)$ es $ 364.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:24 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Una sucesión de números reales $ x_0, x_1, x_2, \ldots$ se define de la siguiente manera: $ x_0 = 1989$ y para cada $ n \geq 1$ \[ x_n = - \frac{1989}{n} \sum^{n-1}_{k=0} x_k.\] Calcule el valor de $ \sum^{1989}_{n=0} 2^n x_n.$ Z K Y