Demuestra que no existen enteros positivos $a$, $b$, $c$ y $d$, coprimos por pares, tales que $ab+cd$, $ac+bd$ y $ad+bc$ sean divisores impares del número $(a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)$.

En un cuadrado $ABCD$, sea $P$ un punto en el lado $CD$, diferente de $C$ y $D$. En el triángulo $ABP$, se dibujan las alturas $AQ$ y $BR$, y sea $S$ el punto de intersección de las líneas $CQ$ y $DR$. Demuestra que $\angle ASB=90$.

Alrededor de una circunferencia se escriben $2012$ números, cada uno de los cuales es igual a $1$ o $-1$. Si no hay $10$ números consecutivos que sumen $0$, encuentra todos los valores posibles de la suma de los $2012$ números.

El siguiente problema está abierto en el sentido de que actualmente no se conoce ninguna solución para la parte (b). Sea $n\geq 2$ un entero, y $P_n$ sea un polígono regular con $n^2-n+1$ vértices. Decimos que $n$ es $\emph{tenso}$ si es posible elegir $n$ de los vértices de $P_n$ tales que las distancias por pares entre los vértices elegidos son todas distintas. (a) demuestre que si $n-1$ es primo entonces $n$ es tenso. (b) ¿Qué enteros $n\geq 2$ son tensos?

Un gato está tratando de atrapar a un ratón en el cuadrante no negativo $N=\{(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2: x_1,x_2\geq 0\}$. En el momento $t=0$ el gato está en $(1,1)$ y el ratón está en $(0,0)$. El gato se mueve con velocidad $\sqrt{2}$ tal que la posición $c(t)=(c_1(t),c_2(t))$ es continua y diferenciable excepto en un número finito de puntos; mientras que el ratón se mueve con velocidad $1$ tal que su posición $m(t)=(m_1(t),m_2(t))$ también es continua y diferenciable excepto en un número finito de puntos. Por lo tanto $c(0)=(1,1)$ y $m(0)=(0,0)$; $c(t)$ y $m(t)$ son funciones continuas de $t$ tales que $c(t),m(t)\in N$ para todo $t\geq 0$; las derivadas $c'(t)=(c'_1(t),c'_2(t))$ y $m'(t)=(m'_1(t),m'_2(t))$ existen cada una para todo menos finitamente muchos $t$ y $(c'_1(t)^2+(c'_2(t))^2=2 \qquad (m'_1(t)^2+(m'_2(t))^2=1,$ siempre que exista la derivada respectiva. En cada momento $t$ el gato conoce tanto la posición $m(t)$ como la velocidad $m'(t)$ del ratón. Demuestre que, no importa cómo se mueva el ratón, el gato puede atraparlo en el tiempo $t=1$; es decir, demuestre que el gato puede moverse de tal manera que $c(\tau)=m(\tau)$ para algún $\tau\in[0,1]$.

Para cada entero positivo $k$, sea $S_k$ el conjunto de números reales que se pueden expresar en la forma $\frac{1}{n_1}+ \frac{1}{n_2}+\dots+\frac{1}{n_k}$, donde $n_1,n_2\dots,n_k$ son enteros positivos. Demuestre que $S_k$ no contiene una secuencia estrictamente creciente infinita.

Sea $\mathcal{M}$ el conjunto de matrices reales de $5\times 5$ de rango $3$. Dada una matriz en $\mathcal{M}$, el conjunto de columnas de $A$ tiene $2^5-1=31$ subconjuntos no vacíos. Sea $k_A$ el número de estos subconjuntos que son linealmente independientes. Determine los valores máximo y mínimo de $k_A$, cuando $A$ varía sobre $\mathcal{M}$. El rango de una matriz es la dimensión del tramo de sus columnas.

Un pentágono espacial regular consta de cinco puntos $P_1,P_2,P_3,P_4$ y $P_5$ en $\mathbb{R}^3$ tales que $|P_iP_{i+1}|=|P_jP_{j+1}|$ y $\angle P_{i-1}P_iP_{i+1}=\angle P_{j-1}P_jP_{j+1}$ para todo $1\leq i,\leq 5$, donde $P_0=P_5$ y $P_{6}=P_{1}$. Un pentágono espacial regular es plano si hay un plano que pasa por los cinco puntos $P_1,P_2,P_3,P_4$ y $P_5$. Demuestre que todo pentágono espacial regular es plano.

Determine el conjunto de números reales $\alpha$ que se pueden expresar en la forma $\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n^3}$ donde $x_0,x_1,x_2,\dots$ es una secuencia creciente de números reales con $x_0=1$.

Fiona tiene una baraja de cartas etiquetadas de $1$ a $n$, dispuestas en una fila sobre la mesa en orden de $1$ a $n$ de izquierda a derecha. Su objetivo es organizarlas en una sola pila, a través de una serie de pasos de la siguiente forma: Si en alguna etapa las cartas están en $m$ pilas, ella elige $1\leq k<m$ y organiza las cartas en $k$ pilas recogiendo la pila $k+1$ y colocándola en la pila $1$; recogiendo la pila $k+2$ y colocándola en la pila $2$; y así sucesivamente, trabajando de izquierda a derecha y volviendo a recorrer según sea necesario. Ella repite el proceso hasta que las cartas estén en una sola pila, y luego se detiene. Entonces, por ejemplo, si $n=7$ y ella elige $k=3$ en el primer paso, tendría las siguientes tres pilas: $\begin{matrix}\n7 & & \\\n4 & 5 & 6 \\\n1 &2 & 3 \\\n\hline\n\end{matrix}$ Si luego elige $k=1$ en la segunda parada, termina con las cartas en una sola pila con las cartas ordenadas $6352741$ de arriba a abajo. ¿Cuántas pilas finales diferentes puede obtener Fiona?