La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 10:12 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ n = 2k - 1$ donde $ k \geq 6$ es un entero. Sea $ T$ el conjunto de todas las $ n-$ tuplas $ (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ donde $ x_i \in \{0,1\}$ $ \forall i = \{1,2, \ldots, n\}$. Para $ x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in T$ y $ y = (y_1, y_2, \ldots, y_n) \in T$, sea $ d(x,y)$ el número de enteros $ j$ con $ 1 \leq j \leq n$ tales que $ x_j \neq y_j$; en particular, $ d(x,x) = 0$. Suponga que existe un subconjunto $ S$ de $ T$ con $ 2^k$ elementos que tiene la siguiente propiedad: dado cualquier elemento $ x \in T$, existe un único elemento $ y \in S$ tal que $ d(x, y) \leq 3$. Demuestre que $ n = 23$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 10:21 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $ P_1(x), P_2(x), \ldots, P_n(x)$ polinomios reales, es decir, que tienen coeficientes reales. Demuestre que existen polinomios reales $ A_r(x),B_r(x) \quad (r = 1, 2, 3)$ tales que \[ \sum^n_{s=1} \left\{ P_s(x) \right \}^2 \equiv \left( A_1(x) \right)^2 + \left( B_1(x) \right)^2\] \[ \sum^n_{s=1} \left\{ P_s(x) \right \}^2 \equiv \left( A_2(x) \right)^2 + x \left( B_2(x) \right)^2\] \[ \sum^n_{s=1} \left\{ P_s(x) \right \}^2 \equiv \left( A_3(x) \right)^2 - x \left( B_3(x) \right)^2\] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 10:30 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que para $ 0 < k \leq 1$ y $ a_i \in \mathbb{R}^+,$ $ i = 1,2 \ldots, n$ se cumple la siguiente desigualdad: \[ \left( \frac{a_1}{a_2 + \ldots + a_n} \right)^k + \ldots + \left( \frac{a_n}{a_1 + \ldots + a_{n-1}} \right)^k \geq \frac{n}{(n-1)^k}.\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 10:23 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $ v_1, v_2, \ldots, v_{1989}$ un conjunto de vectores coplanares con $ |v_r| \leq 1$ para $ 1 \leq r \leq 1989.$ Demuestre que es posible encontrar $ \epsilon_r$ , $1 \leq r \leq 1989,$ cada uno igual a $ \pm 1,$ tales que \[ \left | \sum^{1989}_{r=1} \epsilon_r v_r \right | \leq \sqrt{3}.\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:43 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ S$ el punto de intersección de las dos rectas $ l_1 : 7x - 5y + 8 = 0$ y $ l_2 : 3x + 4y - 13 = 0.$ Sean $ P = (3, 7), Q = (11, 13),$ y sean $ A$ y $ B$ puntos en la recta $ PQ$ tales que $ P$ está entre $ A$ y $ Q,$ y $ B$ está entre $ P$ y $ Q,$ y tales que \[ \frac{PA}{AQ} = \frac{PB}{BQ} = \frac{2}{3}.\] Sin hallar las coordenadas de $ B,$ encuentre las ecuaciones de las rectas $ SA$ y $ SB.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:56 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $ a, b, c, d,m, n \in \mathbb{Z}^+$ tales que \[ a^2+b^2+c^2+d^2 = 1989,\] \[ a+b+c+d = m^2,\] y el mayor de $ a, b, c, d$ es $ n^2.$ Determine, con demostración, los valores de $m$ y $ n.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:53 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un cuadrilátero bicéntrico es aquel que es tanto inscribible en un círculo como circunscribible alrededor de uno, es decir, existen tanto el círculo inscrito como el círculo circunscrito. Demuestre que, para tal cuadrilátero, los centros de los dos círculos asociados son colineales con el punto de intersección de las diagonales. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:41 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ (\log_2(x))^2 - 4 \cdot \log_2(x) - m^2 - 2m - 13 = 0$ una ecuación en $ x.$ Demuestre que: (a) Para cualquier valor real de $ m$ la ecuación tiene dos soluciones distintas. (b) El producto de las soluciones de la ecuación no depende de $ m.$ (c) Una de las soluciones de la ecuación es menor que 1, mientras que la otra solución es mayor que 1. Encuentre el valor mínimo de la solución mayor y el valor máximo de la solución menor. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:55 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ t(n)$ para $ n = 3, 4, 5, \ldots,$ el número de triángulos distintos, no congruentes, de lados enteros cuyo perímetro es $ n;$ por ejemplo, $ t(3) = 1.$ Demuestre que \[ t(2n-1) - t(2n) = \left[ \frac{6}{n} \right] \text{ o } \left[ \frac{6}{n} + 1 \right].\] Z K Y

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