Encuentra todas las funciones sobreyectivas $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que para todos los enteros positivos $a$ y $b$ , exactamente una de las siguientes ecuaciones es verdadera: \n\begin{align*}\nf(a)&=f(b), \\ f(a+b)&=\min\{f(a),f(b)\}.\n\end{align*} \nObservaciones: $\mathbb{N}$ denota el conjunto de todos los enteros positivos. Se dice que una función $f:X\to Y$ es sobreyectiva si para cada $y\in Y$ existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$ .

Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo, $H$ su ortocentro y $G$ su baricentro. La circunferencia con diámetro $AH$ corta a la circunferencia circunscrita de $BHC$ en $A'$ ( $A' \neq H$ ) . Los puntos $B'$ y $C'$ se definen de manera similar. Demuestra que los puntos $A'$ , $B'$ , $C'$ y $G$ se encuentran en una circunferencia.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen dos números distintos de $n$ dígitos, $\overline{a_1a_2\ldots a_n}$ y $\overline{b_1b_2\ldots b_n}$ , tales que el número de $2n$ dígitos $\overline{a_1a_2\ldots a_nb_1b_2\ldots b_n}$ es divisible por $\overline{b_1b_2\ldots b_na_1a_2\ldots a_n}$ .

Dos jugadores $A$ y $B$ juegan alternativamente en un polígono convexo con $n \geq 5$ lados. En cada turno, el jugador correspondiente tiene que dibujar una diagonal que no corte dentro del polígono las diagonales dibujadas previamente. Un jugador pierde si después de su turno, se forma un cuadrilátero tal que sus dos diagonales no están dibujadas. $A$ comienza el juego. Para cada entero positivo $n$ , encuentre una estrategia ganadora para uno de los jugadores.

Una división de un grupo de personas en varios grupos se llama $k$ - regular si el número de grupos es menor o igual a $k$ y dos personas que se conocen están en diferentes grupos. Sean $A$ , $B$ y $C$ grupos de personas tales que no hay ninguna persona en $A$ y ninguna persona en $B$ que se conozcan. Suponga que el grupo $A \cup C$ tiene una división $a$ - regular y el grupo $B \cup C$ tiene una división $b$ - regular. Para cada $a$ y $b$ , determine el menor valor posible de $k$ para el cual se garantiza que el grupo $A \cup B \cup C$ tiene una división $k$ - regular.

Sea $ABCD$ un cuadrado, y sean $E$ y $F$ puntos en $AB$ y $BC$ respectivamente tales que $BE=BF$ . En el triángulo $EBC$ , sea N el pie de la altura relativa a $EC$ . Sea $G$ la intersección entre $AD$ y la extensión de la altura mencionada anteriormente. $FG$ y $EC$ se intersecan en el punto $P$ , y las líneas $NF$ y $DC$ se intersecan en el punto $T$ . Demuestra que la línea $DP$ es perpendicular a la línea $BT$ .

Sean $a,b,c,d$ números reales positivos tales que $a^2+b^2+c^2+d^2 = 1$ . Demuestra que $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) \geq abcd$ .

Considera un triángulo $ABC$ con $1 < \frac{AB}{AC} < \frac{3}{2}$. Sean $M$ y $N$, respectivamente, puntos variables de los lados $AB$ y $AC$, diferentes de $A$, tales que $\frac{MB}{AC} - \frac{NC}{AB} = 1$. Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo $AMN$ pasa por un punto fijo diferente de $A$.

$A$ y $B$ juegan por turnos alternados en un tablero de $2012 \times 2013$ con suficientes piezas de los siguientes tipos:\nTipo $1$: Pieza como Tipo $2$ pero con un cuadrado a la derecha del cuadrado inferior.\nTipo $2$: Pieza de $2$ cuadrados consecutivos, uno sobre otro.\nTipo $3$: Pieza de $1$ cuadrado.\nEn su turno, $A$ debe colocar una pieza del tipo $1$ en los cuadrados disponibles del tablero.\n$B$, en su turno, debe colocar exactamente una pieza de cada tipo en los cuadrados disponibles del tablero.\nEl jugador que no pueda hacer más movimientos pierde.\nSi $A$ comienza a jugar, decide quién tiene una estrategia ganadora.\nNota: Las piezas pueden rotarse pero no pueden superponerse; no pueden estar fuera del tablero.\nLas piezas de los tipos $1$, $2$ y $3$ se pueden colocar en exactamente $3$, $2$ y $1$ cuadrados del tablero respectivamente.

Encuentra el mayor entero positivo $n$, menor que $2012$, que tiene la siguiente propiedad: Si $p$ es un divisor primo de $n$, entonces $p^2 - 1$ es un divisor de $n$.