La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 10:00 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ f$ una función de los números reales a los números reales tal que $ f(1) = 1, f(a+b) = f(a)+f(b)$ para todo $ a, b,$ y $ f(x)f \left( \frac{1}{x} \right) = 1$ para todo $ x \neq 0.$ Demuestre que $ f(x) = x$ para todo número real $ x.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 10:12 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ n = 2k - 1$ donde $ k \geq 6$ es un entero. Sea $ T$ el conjunto de todas las $ n-$ tuplas $ (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ donde $ x_i \in \{0,1\}$ $ \forall i = \{1,2, \ldots, n\}$. Para $ x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in T$ y $ y = (y_1, y_2, \ldots, y_n) \in T$, sea $ d(x,y)$ el número de enteros $ j$ con $ 1 \leq j \leq n$ tales que $ x_j \neq y_j$; en particular, $ d(x,x) = 0$. Suponga que existe un subconjunto $ S$ de $ T$ con $ 2^k$ elementos que tiene la siguiente propiedad: dado cualquier elemento $ x \in T$, existe un único elemento $ y \in S$ tal que $ d(x, y) \leq 3$. Demuestre que $ n = 23$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:56 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $ a, b, c, d,m, n \in \mathbb{Z}^+$ tales que \[ a^2+b^2+c^2+d^2 = 1989,\] \[ a+b+c+d = m^2,\] y el mayor de $ a, b, c, d$ es $ n^2.$ Determine, con demostración, los valores de $m$ y $ n.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:58 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ f(x) = \prod^n_{k=1} (x - a_k) - 2,$ donde $ n \geq 3$ y $ a_1, a_2, \ldots, a_n$ son enteros distintos. Suponga que $ f(x) = g(x)h(x),$ donde $ g(x)$ y $ h(x)$ son ambos polinomios no constantes con coeficientes enteros. Demuestre que $ n = 3.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:43 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ S$ el punto de intersección de las dos rectas $ l_1 : 7x - 5y + 8 = 0$ y $ l_2 : 3x + 4y - 13 = 0.$ Sean $ P = (3, 7), Q = (11, 13),$ y sean $ A$ y $ B$ puntos en la recta $ PQ$ tales que $ P$ está entre $ A$ y $ Q,$ y $ B$ está entre $ P$ y $ Q,$ y tales que \[ \frac{PA}{AQ} = \frac{PB}{BQ} = \frac{2}{3}.\] Sin hallar las coordenadas de $ B,$ encuentre las ecuaciones de las rectas $ SA$ y $ SB.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:51 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $ A,B$ dos puntos fijos distintos en el espacio. Sean $ X, P$ puntos variables (en el espacio), mientras que $ K,N, n$ denotan enteros positivos. Llamemos a $ (X,K,N,P)$ admisible si \[ (N - K) \cdot PA + K \cdot PB \geq N \cdot PX.\] Llamemos a $ (X,K,N)$ admisible si $ (X,K,N,P)$ es admisible para todas las elecciones de $ P.$ Llamemos a $ (X,N)$ admisible si $ (X,K,N)$ es admisible para alguna elección de $ K$ en el intervalo $ 0 < K < N.$ Finalmente, llamemos a $ X$ admisible si $ (X,N)$ es admisible para alguna elección de $ N, (N > 1).$ Determine: (a) el conjunto de $ X$ admisibles; (b) el conjunto de $ X$ para los cuales $ (X, 1989)$ es admisible pero no $ (X, n), n < 1989.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:53 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un cuadrilátero bicéntrico es aquel que es tanto inscribible en un círculo como circunscribible alrededor de uno, es decir, existen tanto el círculo inscrito como el círculo circunscrito. Demuestre que, para tal cuadrilátero, los centros de los dos círculos asociados son colineales con el punto de intersección de las diagonales. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 10:14 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El conjunto $ \{a_0, a_1, \ldots, a_n\}$ de números reales satisface las siguientes condiciones: (i) $ a_0 = a_n = 0,$ (ii) para $ 1 \leq k \leq n - 1,$ \[ a_k = c + \sum^{n-1}_{i=k} a_{i-k} \cdot \left(a_i + a_{i+1} \right)\] Demuestre que $ c \leq \frac{1}{4n}.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:38 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dados dos números distintos $ b_1$ y $ b_2$ , su producto puede formarse de dos maneras: $ b_1 \times b_2$ y $ b_2 \times b_1.$ Dados tres números distintos, $ b_1, b_2, b_3,$ su producto puede formarse de doce maneras: $ b_1\times(b_2 \times b_3);$ $ (b_1 \times b_2) \times b_3;$ $ b_1 \times (b_3 \times b_2);$ $ (b_1 \times b_3) \times b_2;$ $ b_2 \times (b_1 \times b_3);$ $ (b_2 \times b_1) \times b_3;$ $ b_2 \times(b_3 \times b_1);$ $ (b_2 \times b_3)\times b_1;$ $ b_3 \times(b_1 \times b_2);$ $ (b_3 \times b_1)\times b_2;$ $ b_3 \times(b_2 \times b_1);$ $ (b_3 \times b_2) \times b_1.$ ¿De cuántas maneras puede formarse el producto de $ n$ letras distintas? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:55 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ t(n)$ para $ n = 3, 4, 5, \ldots,$ el número de triángulos distintos, no congruentes, de lados enteros cuyo perímetro es $ n;$ por ejemplo, $ t(3) = 1.$ Demuestre que \[ t(2n-1) - t(2n) = \left[ \frac{6}{n} \right] \text{ o } \left[ \frac{6}{n} + 1 \right].\] Z K Y