Encuentra todos los pares de enteros positivos $(a,b)$ tales que $$a!+b!=a^b + b^a.$$

Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ con $AB>AC$ y sea la recta $AI$ que intersecta el lado $BC$ en $D$ . Suponga que el punto $P$ se encuentra en el segmento $BC$ y satisface $PI=PD$ . Además, sea $J$ el punto obtenido al reflejar $I$ sobre la mediatriz de $BC$ , y sea $Q$ la otra intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $APD$ . Demuestra que $\angle BAQ=\angle CAJ$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB>AC$ . Demuestra que existe un punto $D$ con la siguiente propiedad: siempre que dos puntos distintos $X$ e $Y$ se encuentren en el interior de $ABC$ tales que los puntos $B$ , $C$ , $X$ , e $Y$ se encuentren en una circunferencia y $$\angle AXB-\angle ACB=\angle CYA-\angle CBA$$ se cumple, la recta $XY$ pasa por $D$ .

Sea $N$ un entero positivo. En cada uno de los $N^2$ cuadrados unitarios de un tablero de $N\times N$ , se dibuja una de las dos diagonales. Las diagonales dibujadas dividen el tablero de $N\times N$ en $K$ regiones. Para cada $N$ , determina los valores posibles más pequeño y más grande de $K$ .

Hay $n$ estudiantes de pie en línea en las posiciones $1$ a $n$ . Mientras el profesor mira hacia otro lado, algunos estudiantes cambian sus posiciones. Cuando el profesor mira hacia atrás, están de pie en línea nuevamente. Si un estudiante que estaba inicialmente en la posición $i$ está ahora en la posición $j$ , decimos que el estudiante se movió $|i-j|$ pasos. Determina la suma máxima de pasos de todos los estudiantes que pueden lograr.

Determina todas las funciones $f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to \mathbb{R}\setminus\{0\}$ tales que $$f(x^2yf(x))+f(1)=x^2f(x)+f(y)$$ se cumple para todos los números reales no nulos $x$ y $y$ .

Demuestra que para todos los números reales positivos $a$ , $b$ , $c$ tales que $abc=1$ se cumple la siguiente desigualdad: $$\frac{a}{2b+c^2}+\frac{b}{2c+a^2}+\frac{c}{2a+b^2}\le \frac{a^2+b^2+c^2}3.$$

Encuentra todos los pares de enteros positivos $(m,n)$ para los cuales existen enteros relativamente primos $a$ y $b$ mayores que $1$ tales que $$\frac{a^m+b^m}{a^n+b^n}$$ es un entero.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Sea $E$ la intersección de las rectas paralelas a $AC$ y $BD$ que pasan por los puntos $B$ y $A$ , respectivamente. Las rectas $EC$ y $ED$ cortan la circunferencia circunscrita de $AEB$ nuevamente en $F$ y $G$ , respectivamente. Demuestra que los puntos $C$ , $D$ , $F$ , y $G$ se encuentran en una circunferencia.

Sea $n\ge 3$ un entero. Una diagonal interior de un $n$ - gono simple es una diagonal que está contenida en el $n$ - gono. Denotemos por $D(P)$ el número de todas las diagonales interiores de un $n$ - gono simple $P$ y por $D(n)$ el menor valor posible de $D(Q)$ , donde $Q$ es un $n$ - gono simple. Demuestra que no hay dos diagonales interiores de $P$ que se corten (excepto posiblemente en un punto final común) si y sólo si $D(P)=D(n)$ . Observación: Un $n$ - gono simple es un polígono sin auto-intersecciones con $n$ vértices. Un polígono no es necesariamente convexo.