Probar que existen dos secuencias estrictamente crecientes $(a_{n})$ y $(b_{n})$ tales que $a_{n}(a_{n}+1)$ divide a $b^{2}_{n}+1$ para cada n natural.

Dado un triángulo $ABC$. Los puntos $A$, $B$, $C$ dividen la circunferencia circunscrita $\Omega$ del triángulo $ABC$ en tres arcos $BC$, $CA$, $AB$. Sea $X$ un punto variable en el arco $AB$, y sean $O_{1}$ y $O_{2}$ los incentros de los triángulos $CAX$ y $CBX$. Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo $XO_{1}O_{2}$ intersecta el círculo $\Omega$ en un punto fijo.

El punto $M$ está dentro del cuadrilátero convexo $ABCD$, tal que\n\[ MA = MC, \hspace{0,2cm} \widehat{AMB} = \widehat{MAD} + \widehat{MCD} \quad \textnormal{y} \quad \widehat{CMD} = \widehat{MCB} + \widehat{MAB}. \]\nDemuestra que $AB \cdot CM = BC \cdot MD$ y $BM \cdot AD = MA \cdot CD.$

Para $n \geq 3$ y $a_{1} \leq a_{2} \leq \ldots \leq a_{n}$ dados números reales tenemos las siguientes instrucciones: - Colocar los números en algún orden en un anillo; - Eliminar uno de los números del anillo; - Si solo quedan dos números en el anillo: sea $S$ la suma de estos dos números. De lo contrario, si hay más de dos números en el anillo, reemplazar. Después, comenzar de nuevo con el paso (2). \nDemostrar que la suma más grande $S$ que puede resultar de esta manera está dada por la fórmula \[S_{max}= \sum^n_{k=2} \begin{pmatrix} n -2 \ [\frac{k}{2}] - 1\end{pmatrix}a_{k}.\]

Encontrar todas las funciones $f: \mathbb{R} \to\mathbb{R}$ tales que \[f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1\] para todo $x,y \in \mathbb{R} $ .

Probar que el conjunto de los enteros positivos no puede ser particionado en tres subconjuntos no vacíos tales que, para cualquier par de enteros $x,y$ tomados de dos subconjuntos diferentes, el número $x^2-xy+y^2$ pertenece al tercer subconjunto.

Un biólogo observa un camaleón. El camaleón atrapa moscas y descansa después de cada captura. El biólogo nota que: la primera mosca es atrapada después de un período de descanso de un minuto; el período de descanso antes de atrapar la mosca número $2m^{\text{th}}$ es el mismo que el período de descanso antes de atrapar la mosca número $m^{\text{th}}$ y un minuto más corto que el período de descanso antes de atrapar la mosca número $(2m+1)^{\text{th}}$; cuando el camaleón deja de descansar, atrapa una mosca instantáneamente. ¿Cuántas moscas fueron atrapadas por el camaleón antes de su primer período de descanso de $9$ minutos seguidos? ¿Después de cuántos minutos el camaleón atrapará su mosca número $98^{\text{th}}$? ¿Cuántas moscas fueron atrapadas por el camaleón después de que hayan pasado 1999 minutos?

Probar que cada número racional positivo puede ser representado en la forma $\dfrac{a^{3}+b^{3}}{c^{3}+d^{3}}$ donde a,b,c,d son enteros positivos.

Encontrar todos los pares de enteros positivos $(x,p)$ tales que p es un primo, $x \leq 2p$ y $x^{p-1}$ es un divisor de $ (p-1)^{x}+1$ .

Sea $n\ge 2$ un entero. Determina el número de enteros positivos $m$ tales que $m\le n$ y $m^2+1$ es divisible por $n$ .