Los números $1$ hasta $2014$ están escritos en una pizarra. Una operación válida es borrar dos números $a$ y $b$ en la pizarra y reemplazarlos con el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$. Demuestra que, sin importar cuántas operaciones se hagan, la suma de todos los números que permanecen en la pizarra es siempre mayor que $2014$ $\times$ $\sqrt[2014]{2014!}$

Sea $p >3$ un número primo. Para cada subconjunto no vacío $T$ de $\{0,1,2,3, \ldots , p-1\}$ , sea $E(T)$ el conjunto de todas las $(p-1)$ - tuplas $(x_1, \ldots ,x_{p-1} )$ , donde cada $x_i \in T$ y $x_1+2x_2+ \ldots + (p-1)x_{p-1}$ es divisible por $p$ y sea $|E(T)|$ denota el número de elementos en $E(T)$ . Demuestra que\n\[|E(\{0,1,3\})| \geq |E(\{0,1,2\})|\]\ncon igualdad si y solo si $p = 5$ .

Suponga que a cada entero se le ha dado uno de los colores rojo, azul, verde o amarillo. Sean $x$ e $y$ enteros impares tales que $|x| \neq |y|$ . Demuestra que hay dos enteros del mismo color cuya diferencia tiene uno de los siguientes valores: $x,y,x+y$ o $x-y$ .

Sea $n$ un entero positivo par. Decimos que dos celdas diferentes de un tablero de $n \times n$ son vecinas si tienen un lado en común. Encuentra el número mínimo de celdas en el tablero de $n \times n$ que deben ser marcadas para que cualquier celda (marcada o no marcada) tenga una celda vecina marcada.

Sea $A$ un conjunto de $N$ residuos $\pmod{N^{2}}$ . Demuestra que existe un conjunto $B$ de $N$ residuos $\pmod{N^{2}}$ tal que $A + B = \{a+b|a \in A, b \in B\}$ contiene al menos la mitad de todos los residuos $\pmod{N^{2}}$ .

Si un rectángulo de $5 \times n$ puede ser embaldosado usando $n$ piezas como las que se muestran en el diagrama, probar que $n$ es par. Demostrar que hay más de $2 \cdot 3^{k-1}$ maneras de embaldosar un rectángulo fijo de $5 \times 2k$ $(k \geq 3)$ con $2k$ piezas. (Se supone que las construcciones simétricas son diferentes).

Sea $n \geq 1$ un entero. Un camino desde $(0,0)$ hasta $(n,n)$ en el plano $xy$ es una cadena de movimientos unitarios consecutivos, ya sea hacia la derecha (movimiento denotado por $E$) o hacia arriba (movimiento denotado por $N$), todos los movimientos realizados dentro del semiplano $x \geq y$. Un paso en un camino es la ocurrencia de dos movimientos consecutivos de la forma $EN$. Demostrar que el número de caminos desde $(0,0)$ hasta $(n,n)$ que contienen exactamente $s$ pasos $(n \geq s \geq 1)$ es \[\frac{1}{s} \binom{n-1}{s-1} \binom{n}{s-1}.\]

Demuestra que para cada número real $M$ existe una progresión aritmética infinita tal que:\n- cada término es un entero positivo y la diferencia común no es divisible por 10\n- la suma de los dígitos de cada término (en representación decimal) excede $M$ .

Sean $n,k$ enteros positivos tales que n no es divisible por 3 y $k \geq n$ . Demuestra que existe un entero positivo $m$ que es divisible por $n$ y la suma de sus dígitos en representación decimal es $k$ .

Denotemos por S el conjunto de todos los primos tales que la representación decimal de $\frac{1}{p}$ tiene el período fundamental divisible por 3. Para cada $p \in S$ tal que $\frac{1}{p}$ tiene el período fundamental $3r$ se puede escribir\n$$\frac{1}{p}=0,a_{1}a_{2}\ldots a_{3r}a_{1}a_{2} \ldots a_{3r} \ldots , $$\ndonde $r=r(p)$ ; para cada $p \in S$ y cada entero $k \geq 1$ definimos $f(k,p)$ por\n$$ f(k,p)= a_{k}+a_{k+r(p)}+a_{k+2.r(p)}$$\na) Demuestra que $S$ es infinito.\nb) Encuentra el valor más alto de $f(k,p)$ para $k \geq 1$ y $p \in S$