La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. TRYTOSOLVE 255 publicaciones TRYTOSOLVE #1 h 7 de mar. de 2017, 1:31 a. m. • 2 Y Y por Heisenberg09, Adventure10 $x^2 + 2y^2 = 1$ resuelva en enteros. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Rickyminer 343 publicaciones Rickyminer #1 h 6 de octubre de 2020, 12:22 a. m. Y por En una franja horizontal $1 \times n$ compuesta por $n$ cuadrados unitarios, los vértices de todos los cuadrados están marcados. La franja se divide en partes mediante segmentos que conectan puntos marcados y que no yacen sobre los lados de la franja. Los segmentos no pueden tener puntos interiores comunes; el extremo superior de cada segmento debe estar por encima del extremo inferior o más a la derecha. Demuestre que el número de todas las particiones es divisible por $2^n$. (La partición en la que no se trazan segmentos también se cuenta). (E. Robeva, M. Sun) Z K Y

Determine si existe una sucesión infinita $a_0, a_1, a_2, a_3,...$ de enteros no negativos que satisfaga las siguientes condiciones: (i) Todos los enteros no negativos aparecen en la sucesión exactamente una vez. (ii) La sucesión $b_n=a_{n}+n$, $n\geq0$, está formada por todos los números primos y cada uno aparece exactamente una vez.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. fprosk 681 publicaciones fprosk #1 h 16 de nov. de 2015, 8:37 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El incírculo del triángulo $ABC$ toca los lados $BC$ , $AC$ y $AB$ en $D, E$ y $F$ respectivamente. Sean $\omega_a, \omega_b$ y $\omega_c$ los circuncírculos de los triángulos $EAF, DBF$ y $DCE$ , respectivamente. Las rectas $DE$ y $DF$ cortan a $\omega_a$ en $E_a\neq{E}$ y $F_a\neq{F}$ , respectivamente. Sea $r_A$ la recta $E_{a}F_a$ . Sean $r_B$ y $r_C$ definidas de manera análoga. Demuestre que las rectas $r_A$ , $r_B$ y $r_C$ determinan un triángulo con sus vértices sobre los lados del triángulo $ABC$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 23 de octubre de 2025, 1:17 PM Y por En un "tablero de ajedrez" de $N \times N$ ( $N \ge 3$ ) cada casilla está coloreada de blanco. En un momento dado, el color de cinco casillas puede cambiarse (las casillas blancas se vuelven negras y las casillas negras se vuelven blancas) de acuerdo con el siguiente patrón: https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/7/2/7411904d88d20aff945486e3e5da5257cf5cc2.png El patrón puede ser volteado. ¿Bajo qué condiciones pueden todas las casillas de un tablero de tamaño $N$ cambiarse a negro con un número finito de cambios de acuerdo con el patrón? Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 23 de octubre de 2025, 1:18 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Vloe 14 publicaciones Vloe #1 h 4 de dic. de 2020, 3:27 p. m. • 1 Y Y por Mango247 Hay una pila con $15$ monedas sobre una mesa. En cada paso, Pedro elige una de las pilas en la mesa con $a>1$ monedas y la divide en dos pilas con $b\geq1$ y $c\geq1$ monedas, y escribe en la pizarra el producto $abc$. Él continúa hasta que hay $15$ pilas con $1$ moneda cada una. Determine todos los valores posibles que puede tener la suma final de los números en la pizarra. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Leicich 234 publicaciones Leicich #1 h 30 de agosto de 2014, 4:19 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Pablo y Silvia juegan en un tablero de $2010 \times 2010$. Para comenzar el juego, Pablo escribe un entero en cada casilla. Una vez que termina, Silvia repite la siguiente operación tantas veces como desee: elige tres casillas que forman una $L$, como en la figura a continuación, y suma $1$ a cada uno de los números en estas tres casillas. Silvia gana si, después de realizar la operación muchas veces, todos los números en el tablero son múltiplos de $10$. Demuestre que Silvia siempre puede ganar. $\begin{array}{|c|c} \cline{1-1} \; & \; \\ \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{c|c|} \cline{2-2} \; & \; \\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\;} & \; \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c} \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\;} & \; \\ \cline{1-1} \end{array} \qquad \begin{array}{c|c|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{\;} & \; \\ \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \cline{2-2} \end{array}$ Z K Y

Dada un número natural $n$ con $n \ge 2$, definimos $a_i = n!+i$ , $i = 1, 2,..., n$ . Demuestre que para cada $k$ con $1 \le k \le n$ existe un número primo $p$, tal que $p$ divide a $a_k$, pero no a $a_i$, para todo $i$ que sea diferente de $k$.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Rickyminer 343 publicaciones Rickyminer #1 h 6 de octubre de 2020, 12:15 AM Y sean $AK$ y $BL$ las alturas de un triángulo acutángulo $ABC$. Se elige un punto $P$ en el segmento $AK$ tal que $LK=LP$. La paralela a $BC$ que pasa por $P$ se corta con la paralela a $PL$ que pasa por $B$ en el punto $Q$. Demuestre que $\angle AQB = \angle ACB$. (S. Berlov) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 27 de julio de 2021, 7:09 AM • 1 Y Y por HWenslawski Si ahora hay tantos niños en la clase como niñas en la clase, el porcentaje de niñas disminuirá $1.4$ veces. Determine qué porcentaje de los estudiantes en la clase eran niños. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 27 de julio de 2021, 7:09 AM Z K Y