Encuentra todas las tripletas $ (x,y,z) $ de números reales tales que \[ 2x^3 + 1 = 3zx \] \[ 2y^3 + 1 = 3xy \] \[ 2z^3 + 1 = 3yz \]

La secuencia $ \{ a_n \} _ { n \ge 0 } $ está definida por $ a_0 = 2 , a_1 = 4 $ y \[ a_{n+1} = \frac{a_n a_{n-1}}{2} + a_n + a_{n-1} \] para todos los enteros positivos $ n $ . Determine todos los números primos $ p $ para los cuales existe un entero positivo $ m $ tal que $ p $ divide al número $ a_m - 1 $ .

En un trapecio dado $ ABCD $ con $ AB$ paralelo a $ CD $ y $ AB > CD $ , la línea $ BD $ biseca el ángulo $ \angle ADC $ . La línea que pasa por $ C $ paralela a $ AD $ se encuentra con los segmentos $ BD $ y $ AB $ en $ E $ y $ F $ , respectivamente. Sea $ O $ el circuncentro del triángulo $ BEF $ . Suponga que $ \angle ACO = 60^{\circ} $ . Demuestre la igualdad \[ CF = AF + FO .\]

Sea $ N $ un entero positivo. Un conjunto $ S \subset \{ 1, 2, \cdots, N \} $ se llama permitido si no contiene tres elementos distintos $ a, b, c $ tales que $ a $ divide a $ b $ y $ b $ divide a $c$ . Determine el mayor número posible de elementos en un conjunto permitido $ S $ .

Sea $ \mathbb{R} ^{+} $ el conjunto de todos los números reales positivos. Encuentra todas las funciones $ \mathbb{R} ^{+} \to \mathbb{R} ^{+} $ tales que \[ f(x+f(y)) = yf(xy+1)\] se cumple para todo $ x, y \in \mathbb{R} ^{+} $ .

Sea $F$ una familia de subconjuntos de $S = \left \{ 1,2,...,n \right \}$ ( $n \geq 2$ ). Una jugada válida es elegir dos conjuntos disjuntos $A$ y $B$ de $F$ y agregar $A \cup B$ a $F$ (sin remover $A$ y $B$). Inicialmente, $F$ tiene todos los subconjuntos que contienen solo un elemento de $S$. El objetivo es tener todos los subconjuntos de $n - 1$ elementos de $S$ en $F$ usando jugadas válidas. Determina el número más bajo de jugadas requeridas para lograr el objetivo.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia con centro $O$ tal que se encuentra dentro de $ABCD$ y $\angle{BAC} = \angle{ODA}$. Sea $E$ la intersección de $AC$ con $BD$. Las líneas $r$ y $s$ se dibujan a través de $E$ tal que $r$ es perpendicular a $BC$, y $s$ es perpendicular a $AD$. Sea $P$ la intersección de $r$ con $AD$, y $M$ la intersección de $s$ con $BC$. Sea $N$ el punto medio de $EO$. Demuestra que $M$, $N$ y $P$ se encuentran en una línea.

Muestra que el número $n^{2} - 2^{2014}\times 2014n + 4^{2013} (2014^{2}-1)$ no es primo, donde $n$ es un entero positivo.

Sea $ABCD$ un rectángulo y $P$ un punto fuera de él tal que $\angle{BPC} = 90^{\circ}$ y el área del pentágono $ABPCD$ es igual a $AB^{2}$. Muestra que $ABPCD$ puede ser dividido en 3 piezas con cortes rectos de tal manera que un cuadrado pueda ser construido usando esas 3 piezas, sin dejar ningún hueco o colocando piezas encima de otras. Nota: las piezas pueden ser rotadas e invertidas.

Un par de enteros positivos $(a,b)$ se llama charrúa si existe un entero positivo $c$ tal que $a+b+c$ y $a\times b\times c$ son ambos números cuadrados; si no existe tal número $c$, entonces el par se llama no charrúa. a) Demuestra que existen infinitos pares no charrúas. b) Demuestra que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $(2,n)$ es charrúa.