La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. carlosbr 500 publicaciones carlosbr #1 h 21 de mayo de 2006, 3:11 AM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 PERÚ TST IMO - 2006 Sábado, 20 de mayo. Pregunta 04 En un triángulo acutángulo $ABC$ se trazan: su circunferencia circunscrita $w$ con centro $O$, la circunferencia circunscrita $w_1$ del triángulo $AOC$ y el diámetro $OQ$ de $w_1$. Se eligen los puntos $M$ y $N$ en las rectas $AQ$ y $AC$, respectivamente, de tal manera que el cuadrilátero $AMBN$ sea un paralelogramo. Demuestre que el punto de intersección de las rectas $MN$ y $BQ$ pertenece a la circunferencia $w_1.$

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 23 de octubre de 2025, 1:17 PM Y por En un "tablero de ajedrez" de $N \times N$ ( $N \ge 3$ ) cada casilla está coloreada de blanco. En un momento dado, el color de cinco casillas puede cambiarse (las casillas blancas se vuelven negras y las casillas negras se vuelven blancas) de acuerdo con el siguiente patrón: https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/7/2/7411904d88d20aff945486e3e5da5257cf5cc2.png El patrón puede ser volteado. ¿Bajo qué condiciones pueden todas las casillas de un tablero de tamaño $N$ cambiarse a negro con un número finito de cambios de acuerdo con el patrón? Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 23 de octubre de 2025, 1:18 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. fprosk 681 publicaciones fprosk #1 h 16 de nov. de 2015, 8:37 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El incírculo del triángulo $ABC$ toca los lados $BC$ , $AC$ y $AB$ en $D, E$ y $F$ respectivamente. Sean $\omega_a, \omega_b$ y $\omega_c$ los circuncírculos de los triángulos $EAF, DBF$ y $DCE$ , respectivamente. Las rectas $DE$ y $DF$ cortan a $\omega_a$ en $E_a\neq{E}$ y $F_a\neq{F}$ , respectivamente. Sea $r_A$ la recta $E_{a}F_a$ . Sean $r_B$ y $r_C$ definidas de manera análoga. Demuestre que las rectas $r_A$ , $r_B$ y $r_C$ determinan un triángulo con sus vértices sobre los lados del triángulo $ABC$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. fprosk 681 publicaciones fprosk #1 h 16 de noviembre de 2015, 8:31 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Definamos el corte de un polígono convexo de $n$ lados eligiendo un par de lados consecutivos $AB$ y $BC$ y sustituyéndolos por tres segmentos $AM$, $MN$ y $NC$, donde $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ es el punto medio de $BC$. En otras palabras, se elimina el triángulo $MBN$ y se obtiene un polígono convexo de $n+1$ lados. Sea $P_6$ un hexágono regular con área $1$. $P_6$ se corta y se obtiene el polígono $P_7$. Luego, $P_7$ se corta de una de siete maneras y se obtiene el polígono $P_8$, y así sucesivamente. Demuestre que, independientemente de cómo se realicen los cortes, el área de $P_n$ es siempre mayor que $2/3$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 23 de octubre de 2025, 1:20 PM • 1 Y Y por cubres Se sabe que $(20 + 25)^2 = 2025$. Encuentre todas las soluciones en enteros positivos de la ecuación $$(x + y)^2 = 100x + y.$$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. fprosk 681 publicaciones fprosk #1 h 16 de noviembre de 2015, 8:29 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Pedro debe elegir dos fracciones irreducibles, cada una con numerador y denominador positivos, tales que: La suma de las fracciones sea igual a $2$. La suma de los numeradores de las fracciones sea igual a $1000$. ¿De cuántas maneras puede Pedro hacer esto? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Leicich 234 publicaciones Leicich #1 h 30 de agosto de 2014, 4:19 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Pablo y Silvia juegan en un tablero de $2010 \times 2010$. Para comenzar el juego, Pablo escribe un entero en cada casilla. Una vez que termina, Silvia repite la siguiente operación tantas veces como desee: elige tres casillas que forman una $L$, como en la figura a continuación, y suma $1$ a cada uno de los números en estas tres casillas. Silvia gana si, después de realizar la operación muchas veces, todos los números en el tablero son múltiplos de $10$. Demuestre que Silvia siempre puede ganar. $\begin{array}{|c|c} \cline{1-1} \; & \; \\ \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{c|c|} \cline{2-2} \; & \; \\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\;} & \; \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c} \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\;} & \; \\ \cline{1-1} \end{array} \qquad \begin{array}{c|c|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{\;} & \; \\ \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \cline{2-2} \end{array}$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. TRYTOSOLVE 255 publicaciones TRYTOSOLVE #1 h 2 de marzo de 2017, 10:51 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $a^3 + b^3 + 3abc \ge\ c^3$ demuestre que donde a, b y c son los lados de un triángulo. Z K Y

Determine si existe una sucesión infinita $a_0, a_1, a_2, a_3,...$ de enteros no negativos que satisfaga las siguientes condiciones: (i) Todos los enteros no negativos aparecen en la sucesión exactamente una vez. (ii) La sucesión $b_n=a_{n}+n$, $n\geq0$, está formada por todos los números primos y cada uno aparece exactamente una vez.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. TRYTOSOLVE 255 publicaciones TRYTOSOLVE #1 h 7 de mar. de 2017, 1:31 a. m. • 2 Y Y por Heisenberg09, Adventure10 $x^2 + 2y^2 = 1$ resuelva en enteros. Z K Y