Demuestra que existen\n(a) 5 puntos en el plano tales que entre todos los triángulos con vértices entre estos puntos hay 8 triángulos rectángulos;\n(b) 64 puntos en el plano tales que entre todos los triángulos con vértices entre estos puntos hay al menos 2005 triángulos rectángulos.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en un círculo $k$ . Se sabe que la tangente desde $A$ al círculo se encuentra con la línea $BC$ en el punto $P$ . Sea $M$ el punto medio del segmento de línea $AP$ y $R$ el segundo punto de intersección del círculo $k$ con la línea $BM$ . La línea $PR$ se encuentra nuevamente con el círculo $k$ en el punto $S$ diferente de $R$ . Demuestra que las líneas $AP$ y $CS$ son paralelas.

Encuentra todos los enteros positivos $x,y$ que satisfacen la ecuación\n\[ 9(x^2+y^2+1) + 2(3xy+2) = 2005 . \]

Para cualquier entero positivo $n $ , sea $ d(n) $ el número de divisores positivos de $ n $ . ¿Existen enteros positivos $ a $ y $b $ , tales que $ d(a)=d(b)$ y $ d(a^2 ) = d(b^2 ) $ , pero $ d(a^3 ) \ne d(b^3 ) $ ?

Encuentra todas las tripletas $ (x,y,z) $ de enteros positivos tales que \[ x^y + y^x = z^y \] \[ x^y + 2012 = y^{z+1} \]

Sea $ ABCD $ un cuadrilátero convexo sin un par de lados paralelos, tal que $ \angle ABC = \angle CDA $ . Suponga que las intersecciones de los pares de bisectrices de ángulos vecinos de $ ABCD $ forman un cuadrilátero convexo $ EFGH $ . Sea $ K $ la intersección de las diagonales de $ EFGH$ . Demuestre que las líneas $ AB $ y $ CD $ se intersecan en la circunferencia circunscrita del triángulo $ BKD $ .

Sea $ K $ el punto medio del lado $ AB $ de un triángulo dado $ ABC $ . Sean $ L $ y $ M$ puntos en los lados $ AC $ y $ BC$ , respectivamente, tales que $ \angle CLK = \angle KMC $ . Demuestre que las perpendiculares a los lados $ AB, AC, $ y $ BC $ que pasan por $ K,L, $ y $M$ , respectivamente, son concurrentes.

Sea $ p>2 $ un número primo. Para cualquier permutación $ \pi = ( \pi(1) , \pi(2) , \cdots , \pi(p) ) $ del conjunto $ S = \{ 1, 2, \cdots , p \} $ , sea $ f( \pi ) $ el número de múltiplos de $ p $ entre los siguientes $ p $ números: \[ \pi(1) , \pi(1) + \pi(2) , \cdots , \pi(1) + \pi(2) + \cdots + \pi(p) \] Determine el valor promedio de $ f( \pi) $ tomado sobre todas las permutaciones $ \pi $ de $ S $ .

Sea $ n $ un entero positivo. Considere palabras de longitud $n$ compuestas de letras del conjunto $ \{ M, E, O \} $ . Sea $ a $ el número de tales palabras que contienen un número par (posiblemente 0) de bloques $ ME $ y un número par (posiblemente 0) bloques de $ MO $ . Del mismo modo, sea $ b $ el número de tales palabras que contienen un número impar de bloques $ ME $ y un número impar de bloques $ MO $ . Demuestre que $ a>b $ .

Sean $ a,b$ y $ c $ números reales positivos con $ abc = 1 $ . Demuestre que \[ \sqrt{ 9 + 16a^2}+\sqrt{ 9 + 16b^2}+\sqrt{ 9 + 16c^2} \ge 3 +4(a+b+c)\]