Una tienda vende botellas con esta capacidad: $1L, 2L, 3L,..., 1996L$ , los precios de las botellas satisfacen estas $2$ condiciones: $1$ . Dos botellas tienen el mismo precio, si y solo si, sus capacidades satisfacen $m - n = 1000$ $2$ . El precio de la botella $m$ ( $1001>m>0$ ) es $1996 - m$ dólares. Encuentre todos los pares $m$ y $n$ tales que: a) $m + n = 1000$ b) ¡El costo es lo más pequeño posible! c) Con el par, la tienda puede medir $k$ litros, con $0<k<1996$ ( para todo $k$ entero) Nota: Las operaciones para medir son: i) Llenar o vaciar cualquiera de las dos botellas ii) Pasar agua de una botella a otra Podemos medir $k$ litros cuando la capacidad de una botella más la capacidad de otra botella es igual a $k$

Considere una secuencia de números reales definida por: $a_{n + 1} = a_n + \frac{1}{a_n}$ para $n = 0, 1, 2, ...$ Pruebe que, para cualquier número real positivo $a_0$ , es cierto que $a_{1996}$ es mayor que $63$ .

En la siguiente figura, el cuadrado más grande está dividido en dos cuadrados y tres rectángulos, como se muestra: El área de cada cuadrado más pequeño es igual a $a$ y el área de cada rectángulo pequeño es igual a $b$ . Si $a+b=24$ y la raíz cuadrada de $a$ es un número natural, encuentre todos los valores posibles para el área del cuadrado más grande.

Sean $ p,q,n$ tres enteros positivos con $ p + q < n$ . Sea $ (x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n})$ una $ (n + 1)$ - tupla de enteros que satisface las siguientes condiciones : (a) $ x_{0} = x_{n} = 0$ , y (b) Para cada $ i$ con $ 1\leq i\leq n$ , o bien $ x_{i} - x_{i - 1} = p$ o bien $ x_{i} - x_{i - 1} = - q$ . Demuestre que existen índices $ i < j$ con $ (i,j)\neq (0,n)$ , tales que $ x_{i} = x_{j}$ .

Sea $ ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $ AB$ es paralelo a $ DE$ , $ BC$ es paralelo a $ EF$ , y $ CD$ es paralelo a $ FA$ . Sean $ R_{A},R_{C},R_{E}$ los circunradios de los triángulos $ FAB,BCD,DEF$ , respectivamente, y sea $ P$ el perímetro del hexágono. Demuestre que \[ R_{A} + R_{C} + R_{E}\geq \frac {P}{2}. ]

Los enteros positivos $ a$ y $ b$ son tales que los números $ 15a + 16b$ y $ 16a - 15b$ son ambos cuadrados de enteros positivos. ¿Cuál es el menor valor posible que puede tomar el menor de estos dos cuadrados?

Sea $ \mathbb{N}_0$ el conjunto de los enteros no negativos. Encuentre todas las funciones $ f$ de $ \mathbb{N}_0$ a sí mismo tales que \[ f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n)\qquad \text{para todos} \; m, n \in \mathbb{N}_0. ]

Sea $ P$ un punto dentro de un triángulo $ ABC$ tal que \[ \angle APB - \angle ACB = \angle APC - \angle ABC. ] Sea $ D$ , $ E$ los incentros de los triángulos $ APB$ , $ APC$ , respectivamente. Demuestre que las líneas $ AP$ , $ BD$ , $ CE$ se encuentran en un punto.

Dado un entero positivo $ r$ y un tablero rectangular $ ABCD$ con dimensiones $ AB = 20, BC = 12$ . El rectángulo está dividido en una cuadrícula de $ 20 \times 12$ cuadrados unitarios. Los siguientes movimientos están permitidos en el tablero: uno puede moverse de un cuadrado a otro solo si la distancia entre los centros de los dos cuadrados es $ \sqrt {r}$ . La tarea es encontrar una secuencia de movimientos que conduzca desde el cuadrado con $ A$ como vértice hasta el cuadrado con $ B$ como vértice. (a) Demuestre que la tarea no se puede realizar si $ r$ es divisible por 2 o 3. (b) Demuestre que la tarea es posible cuando $ r = 73$ . (c) ¿Se puede realizar la tarea cuando $ r = 97$ ?

Encuentra todos los enteros positivos de 3 dígitos $\overline{abc}$ tales que\n\[ \overline{abc} = abc(a+b+c) , \]\ndonde $\overline{abc}$ es la representación decimal del número.