En el cuadrilátero convexo $ABCD$ , las diagonales $AC$ y $BD$ se encuentran en el punto $P$ . Sabemos que $\angle DAC = 90^o$ y $2 \angle ADB = \angle ACB$ . Si tenemos $ \angle DBC + 2 \angle ADC = 180^o$ demuestra que $2AP = BP$ .

Hay tres rectángulos en la siguiente figura. Se muestran las longitudes de algunos segmentos. Encuentra la longitud del segmento $XY$ .

Hay algunos segmentos en el plano tales que no hay dos de ellos que se intersecten entre sí (incluso en los puntos finales). Decimos que el segmento $AB$ rompe el segmento $CD$ si la extensión de $AB$ corta a $CD$ en algún punto entre $C$ y $D$ . \n$a)$ ¿Es posible que cada segmento, cuando se extiende desde ambos extremos, rompa exactamente a otro segmento desde cada lado?\n$b)$ Un segmento se llama rodeado si desde ambos lados del mismo, hay exactamente un segmento que lo rompe. ( por ejemplo, el segmento $AB$ en la figura.) ¿Es posible que todos los segmentos estén rodeados?

Hay dos círculos con centros $O_1,O_2$ que se encuentran dentro del círculo $\omega$ y son tangentes a él. La cuerda $AB$ de $\omega$ es tangente a estos dos círculos de tal manera que se encuentran en lados opuestos de esta cuerda. Demuestra que $\angle O_1AO_2 + \angle O_1BO_2 > 90^\circ$ .

En la figura dada, $ABCD$ es un paralelogramo. Sabemos que $\angle D = 60^\circ$ , $AD = 2$ y $AB = \sqrt3 + 1$ . El punto $M$ es el punto medio de $AD$ . El segmento $CK$ es la bisectriz del ángulo de $C$ . Encuentra el ángulo $CKB$ .

El hexágono convexo $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ se encuentra en el interior del hexágono convexo $B_1B_2B_3B_4B_5B_6$ tal que $A_1A_2 \parallel B_1B_2$ , $A_2A_3 \parallel B_2B_3$ , ..., $A_6A_1 \parallel B_6B_1$ . Demuestra que las áreas de los hexágonos simples $A_1B_2A_3B_4A_5B_6$ y $B_1A_2B_3A_4B_5A_6$ son iguales. (Un hexágono simple es un hexágono que no se interseca a sí mismo).

Como se muestra a continuación, hay un papel de $40\times30$ con un rectángulo relleno de $10\times5$ dentro de él. Queremos recortar el rectángulo relleno del papel usando cuatro cortes rectos. Cada corte recto es una línea recta que divide el papel en dos pedazos, y nos quedamos con el pedazo que contiene el rectángulo relleno. El objetivo es minimizar la longitud total de los cortes rectos. ¿Cómo lograr este objetivo y cuál es esa longitud minimizada? Muestra los cortes correctos y escribe la respuesta final. No es necesario probar la respuesta.

Encuentre todos los enteros $n \leq 3$ tales que exista un conjunto $S_n$ formado por $n$ puntos del plano que satisfagan las siguientes dos condiciones: Tres puntos cualesquiera no son colineales. Ningún punto se encuentra dentro del círculo cuyo diámetro tiene extremos en dos puntos cualesquiera de $S_n$ . NOTA: Los puntos en la circunferencia no se consideran dentro del círculo.

Queremos cubrir totalmente un cuadrado (el lado es igual a $k$ entero y $k>1$ ) con estos rectángulos: $1$ rectángulo ( $1\times 1$ ) , $2$ rectángulos ( $2\times 1$ ) , $4$ rectángulos ( $3\times 1$ ) ,...., $2^n$ rectángulos ( $n + 1 \times 1$ ) , de manera que los rectángulos no se superpongan y no excedan los límites del cuadrado. Encuentra todos los $k$ , tal que esto sea posible y para cada $k$ encontrado tienes que dibujar una solución

La secuencia $0, 1, 1, 1, 1, 1,....,1$ donde hay $1$ número cero y $1995$ números uno. Si elegimos dos o más números en esta secuencia (pero no todos los $1996$ números) y sustituimos un número por la media aritmética de los números seleccionados, obtenemos una nueva secuencia con $1996$ números!!! Demuestre que podemos repetir esta operación hasta que todos los $1996$ números sean iguales Nota: ¡¡No es necesario elegir la misma cantidad de números en cada operación!!!