La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. TRYTOSOLVE 255 publicaciones TRYTOSOLVE #1 h 2 de marzo de 2017, 10:51 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $a^3 + b^3 + 3abc \ge\ c^3$ demuestre que donde a, b y c son los lados de un triángulo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Leicich 234 publicaciones Leicich #1 h 30 de agosto de 2014, 4:19 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Pablo y Silvia juegan en un tablero de $2010 \times 2010$. Para comenzar el juego, Pablo escribe un entero en cada casilla. Una vez que termina, Silvia repite la siguiente operación tantas veces como desee: elige tres casillas que forman una $L$, como en la figura a continuación, y suma $1$ a cada uno de los números en estas tres casillas. Silvia gana si, después de realizar la operación muchas veces, todos los números en el tablero son múltiplos de $10$. Demuestre que Silvia siempre puede ganar. $\begin{array}{|c|c} \cline{1-1} \; & \; \\ \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{c|c|} \cline{2-2} \; & \; \\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\;} & \; \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c} \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\;} & \; \\ \cline{1-1} \end{array} \qquad \begin{array}{c|c|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{\;} & \; \\ \hline \; & \multicolumn{1}{|c|}{\;} \\ \cline{2-2} \end{array}$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 28 de sep. de 2004, 7:57 a. m. • 8 Y Y por Davi-8191, ValidName, Adventure10, megarnie, Mango247 y otros 3 usuarios Sea $n\geq3$ un entero positivo. Sean $C_1,C_2,C_3,\ldots,C_n$ círculos unitarios en el plano, con centros $O_1,O_2,O_3,\ldots,O_n$ respectivamente. Si ninguna recta corta a más de dos de los círculos, demuestre que \[ \sum\limits^{}_{1\leq i<j\leq n}{1\over O_iO_j}\leq{(n-1)\pi\over 4}. \] Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por orl, 27 de sep. de 2005, 11:58 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. KenJP 34 publicaciones KenJP #1 h 13 de enero de 2026, 9:31 a. m. Y por Sea $a_1,a_2,\ldots$ una sucesión de enteros positivos. Para cada entero positivo $n$, defina $b_n=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$. Suponga que todos los $b_1,b_2,\ldots$ son enteros positivos, y que cada entero positivo aparece exactamente una vez entre los valores $b_1,b_2,\ldots$. Determine todas las sucesiones posibles $\{a_n\}$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 3 de noviembre de 2025, 4:17 PM Y por Considere el rectángulo $ABCD$ y un punto $E$ en su diagonal $AC$ tal que $\angle BEC=90^o$. Si el punto $M$ es el punto medio del lado $CD$ y el punto $N$ es el punto medio del segmento $AE$, demuestre que $\angle BNM=90^o$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 3 de noviembre de 2025, 4:26 PM Y por El cuadrado $AB\Gamma\Delta$ de la figura está subdividido por el segmento $EZ$ en dos rectángulos $ABZE$ y $EZ\Gamma\Delta$ . Dado que $AE> E\Delta$ . Las longitudes de todos los lados de los dos rectángulos son enteros positivos. Si la diferencia de las áreas de los dos rectángulos es $24$ , encuentre el área del cuadrado $AB\Gamma\Delta$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/b/3/9307746797b6aba34f2ea30ba5741b0b66d172.png Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 3 de noviembre de 2025, 4:27 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 3 de noviembre de 2025, 4:19 PM Y por Demuestre que, para cualesquiera números reales positivos $a,b$ tales que $a+b=1$, se cumple $$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+ab\ge \frac54$$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 3 de noviembre de 2025, 5:16 PM Razón: título Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. fprosk 681 publicaciones fprosk #1 h 16 de noviembre de 2015, 8:29 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Pedro debe elegir dos fracciones irreducibles, cada una con numerador y denominador positivos, tales que: La suma de las fracciones sea igual a $2$. La suma de los numeradores de las fracciones sea igual a $1000$. ¿De cuántas maneras puede Pedro hacer esto? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. fprosk 681 publicaciones fprosk #1 h 16 de noviembre de 2015, 8:31 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Definamos el corte de un polígono convexo de $n$ lados eligiendo un par de lados consecutivos $AB$ y $BC$ y sustituyéndolos por tres segmentos $AM$, $MN$ y $NC$, donde $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ es el punto medio de $BC$. En otras palabras, se elimina el triángulo $MBN$ y se obtiene un polígono convexo de $n+1$ lados. Sea $P_6$ un hexágono regular con área $1$. $P_6$ se corta y se obtiene el polígono $P_7$. Luego, $P_7$ se corta de una de siete maneras y se obtiene el polígono $P_8$, y así sucesivamente. Demuestre que, independientemente de cómo se realicen los cortes, el área de $P_n$ es siempre mayor que $2/3$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. MathLuis 1749 publicaciones MathLuis #1 h 19 de mayo de 2021, 8:58 PM Y por Encuentre todos los pares $(m,n)$ de números enteros positivos con $m>1$ tales que: Para cualquier entero positivo $b \le m$ que no sea coprimo con $m$, es posible elegir enteros positivos $a_1, a_2, \cdots, a_n$, todos coprimos con $m$, tales que: $$m+a_1b+a_2b^2+\cdots+a_nb^n$$ sea una potencia perfecta. Nota: Una potencia perfecta es un entero positivo representado por $a^k$, donde $a$ y $k$ son enteros positivos con $k>1$ Z K Y