Al hacer construcciones euclidianas en geometría, se permite usar una regla y un par de compases. En las construcciones consideradas en esta pregunta no se permiten compases, pero se asume que la regla tiene dos bordes paralelos, que se pueden usar para construir dos líneas paralelas a través de dos puntos dados cuya distancia es al menos igual al ancho de la regla. Entonces la distancia entre las líneas paralelas es igual al ancho de la regla. Lleve a cabo las siguientes construcciones con tal regla.\nConstruir:\na) La bisectriz de un ángulo dado.\nb) El punto medio de un segmento de línea rectilínea dado.\nc) El centro de un círculo que pasa por tres puntos no colineales dados.\nd) Una línea a través de un punto dado paralela a una línea dada.

En el plano se dan un punto $O$ y una secuencia de puntos $P_1, P_2, P_3, \ldots$. Las distancias $OP_1, OP_2, OP_3, \ldots$ son $r_1, r_2, r_3, \ldots$ Sea $\alpha$ tal que $0 < \alpha < 1.$ Suponga que para cada $n$ la distancia desde el punto $P_n$ a cualquier otro punto de la secuencia es $\geq r^{\alpha}_n.$ Determine el exponente $\beta$ , tan grande como sea posible tal que para alguna $C$ independiente de $n$ \[r_n \geq Cn^{\beta}, n = 1,2, \ldots\]

Se dice que un subconjunto $S$ del conjunto de enteros 0 - 99 tiene la propiedad $A$ si es imposible llenar un crucigrama con 2 filas y 2 columnas con números en $S$ (0 se escribe como 00, 1 como 01, y así sucesivamente). Determine el número máximo de elementos en el conjunto $S$ con la propiedad $A.$

La función $\varphi(x,y,z)$ definida para todas las ternas $(x,y,z)$ de números reales, es tal que existen dos funciones $f$ y $g$ definidas para todos los pares de números reales, tales que \[\varphi(x,y,z) = f(x+y,z) = g(x,y+z)\] para todos los números reales $x,y$ y $z.$ Demuestre que existe una función $h$ de una variable real, tal que \[\varphi(x,y,z) = h(x+y+z)\] para todos los números reales $x,y$ y $z.$

Sean $n$ y $k$ enteros positivos tales que $1 \leq n \leq N+1$ , $1 \leq k \leq N+1$ . Demuestre que: \[ \min_{n \neq k} |\sin n - \sin k| < \frac{2}{N}. \]

Determinar todas las raíces positivas de la ecuación $ x^x = \frac{1}{\sqrt{2}}.$

Demostrar la siguiente desigualdad: \[\prod^k_{i=1} x_i \cdot \sum^k_{i=1} x^{n-1}_i \leq \sum^k_{i=1}\nx^{n+k-1}_i,\] donde $x_i > 0,$ $k \in \mathbb{N}, n \in\n\mathbb{N}.$

Si $x,y,z$ son números reales que satisfacen las relaciones \[x+y+z = 1 \quad \textrm{y} \quad \arctan x + \arctan y + \arctan z = \frac{\pi}{4},\] demostrar que $x^{2n+1} + y^{2n+1} + z^{2n+1} = 1$ se cumple para todos los enteros positivos $n$.

(i) Resolver la ecuación: \[ \sin^3(x) + \sin^3\left( \frac{2 \pi}{3} + x\right) + \sin^3\left( \frac{4 \pi}{3} + x\right) + \frac{3}{4} \cos {2x} = 0.\] (ii) Suponiendo que las soluciones están en la forma de arcos $AB$ con un extremo en el punto $A$ , el comienzo de los arcos del círculo trigonométrico, y $P$ un polígono regular inscrito en el círculo con un vértice en $A$ , encontrar: 1) Los subconjuntos de arcos que tienen el otro extremo en $B$ en uno de los vértices del dodecágono regular. 2) Demostrar que ninguna solución puede tener el extremo $B$ en uno de los vértices del polígono $P$ cuyo número de lados es primo o que tiene factores distintos de 2 o 3.

Suponga que $p$ y $q$ son dos enteros positivos diferentes y $x$ es un número real. Forme el producto $(x+p)(x+q).$ Encuentre la suma $S(x,n) = \sum (x+p)(x+q),$ donde $p$ y $q$ toman valores de 1 a $n.$ ¿Existen valores enteros de $x$ para los cuales $S(x,n) = 0.$