Olimpiada Internacional de Matemáticas 1967 Problema 43
Se da la ecuación \[x^5 + 5 \lambda x^4 - x^3 + (\lambda \alpha - 4)x^2 - (8 \lambda + 3)x + \lambda \alpha - 2 = 0\]. Determine $\alpha$ para que la ecuación dada tenga exactamente (i) una raíz o (ii) dos raíces, respectivamente, independientes de $\lambda.$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1967 Problema 42
Descomponer la expresión en factores reales: \[E = 1 - \sin^5(x) - \cos^5(x).\]
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1967 Problema 41
Una línea $l$ se dibuja a través del punto de intersección $H$ de las alturas de triángulos acutángulos. Demuestra que las imágenes simétricas $l_a, l_b, l_c$ de $l$ con respecto a los lados $BC,CA,AB$ tienen un punto en común, que se encuentra en la circunferencia circunscrita de $ABC.$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas (Listas Largas) 1967 Problema 40
Demuestra que un tetraedro con solo una longitud de arista mayor que $1$ tiene un volumen de a lo sumo $ \frac{1}{8}.$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas (Listas Largas) 1967 Problema 39
Demuestra que el triángulo cuyos ángulos satisfacen la igualdad \[ \frac{sin^2(A) + sin^2(B) + sin^2(C)}{cos^2(A) + cos^2(B) + cos^2(C)} = 2 \] es un triángulo rectángulo.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas (Listas Largas) 1967 Problema 38
¿Existe un entero tal que su cubo sea igual a $3n^2 + 3n + 7,$ donde $n$ es un entero?
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Olimpiada Internacional de Matemáticas (Listas Largas) 1967 Problema 37
Demuestra que para números positivos arbitrarios se cumple la siguiente desigualdad \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq \frac{a^8 + b^8 + c^8}{a^3b^3c^3}.\]
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Olimpiada Internacional de Matemáticas (Listas Largas) 1967 Problema 36
Demuestra esta proposición: Centra la esfera circunscrita alrededor de un tetraedro que coincide con el centro de una esfera inscrita en ese tetraedro si y sólo si las aristas alabeadas del tetraedro son iguales.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas (Listas Largas) 1967 Problema 35
Demuestra la identidad $\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\tan\frac{x}{2}\right)^{2k}\left(1+\frac{2^k}{\left(1-\tan^2\frac{x}{2}\right)^k}\right)=\sec^{2n}\frac{x}{2}+\sec^n x$ para cualquier número natural $n$ y cualquier ángulo $x.$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas (Listas Largas) 1967 Problema 34
Las caras de un poliedro convexo son seis cuadrados y 8 triángulos equiláteros y cada arista es un lado común para un triángulo y un cuadrado. Todos los ángulos diedros obtenidos del triángulo y el cuadrado con una arista común son iguales. Demuestra que es posible circunscribir una esfera alrededor del poliedro, y calcula la razón de los cuadrados de los volúmenes de ese poliedro y de la bola cuya frontera es la esfera circunscrita.
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