En qué caso el sistema de ecuaciones $\begin{matrix} x + y + mz = a \\ x + my + z = b \\ mx + y + z = c \\ \end{matrix}$ tiene una solución? Encuentra las condiciones bajo las cuales la solución única del sistema anterior es una progresión aritmética.

Determina el volumen del cuerpo obtenido al cortar la bola de radio $R$ por el triedro con vértice en el centro de esa bola, si sus ángulos diedros son $\alpha, \beta, \gamma$.

Una urna contiene bolas de $k$ colores diferentes; hay $n_i$ bolas del color $i$-ésimo. Las bolas se seleccionan al azar de la urna, una por una, sin reemplazo, hasta que entre las bolas seleccionadas aparezcan $m$ bolas del mismo color. Encuentra el mayor número de selecciones.

Dados $m+n$ números: $a_i$, $i = 1,2, \ldots, m$, $b_j$, $j = 1,2, \ldots, n$, determina el número de pares $(a_i,b_j)$ para los cuales $|i-j| \geq k$, donde $k$ es un entero no negativo.

Dados los triángulos acutángulos $A_0B_0C_0$ y $A_1B_1C_1$. Describe y demuestra cómo construir el triángulo $ABC$ con el área más grande posible que esté circunscrito sobre $A_0B_0C_0$ (de modo que $BC$ contenga a $B_0$, $CA$ contenga a $B_0$ y $AB$ contenga a $C_0$) y sea similar a $A_1B_1C_1$.

Encuentre los valores del parámetro $u$ para los cuales la expresión \[y = \frac{ \tan(x-u) + \tan(x) + \tan(x+u)}{ \tan(x-u)\tan(x)\tan(x+u)}\] no depende de $x.$

¿Qué polígono regular se puede obtener (y cómo) cortando un cubo con un plano?

Sea $ABCD$ un tetraedro regular. A un punto arbitrario $M$ en una arista, digamos $CD$, corresponde el punto $P = P(M)$ que es la intersección de dos líneas $AH$ y $BK$, trazadas desde $A$ ortogonalmente a $BM$ y desde $B$ ortogonalmente a $AM$. ¿Cuál es el lugar geométrico de $P$ cuando $M$ varía?

Tres discos de diámetro $d$ están tocando una esfera en sus centros. Además, cada disco toca los otros dos discos. ¿Cómo elegir el radio $R$ de la esfera para que el eje de toda la figura tenga un ángulo de $60^\circ$ con la línea que conecta el centro de la esfera con el punto de los discos que está a la mayor distancia del eje? (El eje de la figura es la línea que tiene la propiedad de que la rotación de la figura de $120^\circ$ alrededor de esa línea lleva la figura a la posición inicial. Los discos están todos en un lado del plano, pasando por el centro de la esfera y ortogonal al eje).

En una reunión deportiva se entregaron un total de $m$ medallas durante $n$ días. El primer día se entregó una medalla y $\frac{1}{7}$ de las medallas restantes. El segundo día se entregaron dos medallas y $\frac{1}{7}$ de las medallas restantes, y así sucesivamente. El último día, se entregaron las $n$ medallas restantes. ¿Cuántos días duró la reunión, y cuál fue el número total de medallas?