Demostrar que para un par arbitrario de vectores $f$ y $g$ en el espacio la desigualdad \[af^2 + bfg +cg^2 \geq 0\] se cumple si y solo si se cumplen las siguientes condiciones: \[a \geq 0, \quad c \geq 0, \quad 4ac \geq b^2.\]

Sean $k_1$ y $k_2$ dos círculos con centros $O_1$ y $O_2$ y radio igual a $r$ tal que $O_1O_2 = r$. Sean $A$ y $B$ dos puntos que se encuentran en el círculo $k_1$ y son simétricos entre sí con respecto a la línea $O_1O_2$. Sea $P$ un punto arbitrario en $k_2$. Demostrar que \[PA^2 + PB^2 \geq 2r^2.\]

Sin usar tablas, encontrar el valor exacto del producto: \[P = \prod^7_{k=1} \cos \left(\frac{k \pi}{15} \right).\]

En el espacio se dan $n \geq 3$ puntos. Cada par de puntos determina alguna distancia. Suponga que todas las distancias son diferentes. Conecte cada punto con el punto más cercano. Demuestre que es imposible obtener una línea poligonal (cerrada) de tal manera.

Los $n$ puntos $P_1,P_2, \ldots, P_n$ se colocan dentro o en el límite de un disco de radio 1 de tal manera que la distancia mínima $D_n$ entre dos de estos puntos tiene su mayor valor posible $D_n$. Calcule $D_n$ para $n = 2$ a 7 y justifique su respuesta.

Si $x$ es un número racional positivo, demuestre que $x$ se puede expresar de forma única en la forma $x = \sum^n_{k=1} \frac{a_k}{k!}$ donde $a_1, a_2, \ldots$ son enteros, $0 \leq a_n \leq n - 1$, para $n > 1,$ y la serie termina. Demuestre que $x$ se puede expresar como la suma de recíprocos de diferentes enteros, cada uno de los cuales es mayor que $10^6.$

Sean $k,m,n$ números naturales tales que $m+k+1$ es un primo mayor que $n+1$. Sea $c_s=s(s+1)$. Demuestre que \[(c_{m+1}-c_k)(c_{m+2}-c_k)\ldots(c_{m+n}-c_k)\] es divisible por el producto $c_1c_2\ldots c_n$.

Demostrar la siguiente afirmación: Si $r_1$ y $r_2$ son números reales cuyo cociente es irracional, entonces cualquier número real $x$ puede ser aproximado arbitrariamente bien por los números de la forma $\ z_{k_1,k_2} = k_1r_1 + k_2r_2$ enteros, es decir, para cada número $x$ y cada número real positivo $p$ se pueden encontrar dos enteros $k_1$ y $k_2$ de modo que $|x - (k_1r_1 + k_2r_2)| < p$ se cumple.

Suponga que $\tan \alpha = \dfrac{p}{q}$ , donde $p$ y $q$ son enteros y $q \neq 0$ . Demostrar que el número $\tan \beta$ para el cual $\tan {2 \beta} = \tan {3 \alpha}$ es racional solo cuando $p^2 + q^2$ es el cuadrado de un entero.

¿Qué fracciones $ \dfrac{p}{q},$ donde $p,q$ son enteros positivos $< 100$ , están más cerca de $\sqrt{2} ?$ Encontrar todos los dígitos después del punto en la representación decimal de esa fracción que coinciden con los dígitos en la representación decimal de $\sqrt{2}$ (sin usar ninguna tabla).