La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:56 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $ a, b, c, d,m, n \in \mathbb{Z}^+$ tales que \[ a^2+b^2+c^2+d^2 = 1989,\] \[ a+b+c+d = m^2,\] y el mayor de $ a, b, c, d$ es $ n^2.$ Determine, con demostración, los valores de $m$ y $ n.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:55 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ t(n)$ para $ n = 3, 4, 5, \ldots,$ el número de triángulos distintos, no congruentes, de lados enteros cuyo perímetro es $ n;$ por ejemplo, $ t(3) = 1.$ Demuestre que \[ t(2n-1) - t(2n) = \left[ \frac{6}{n} \right] \text{ o } \left[ \frac{6}{n} + 1 \right].\] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:38 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dados dos números distintos $ b_1$ y $ b_2$ , su producto puede formarse de dos maneras: $ b_1 \times b_2$ y $ b_2 \times b_1.$ Dados tres números distintos, $ b_1, b_2, b_3,$ su producto puede formarse de doce maneras: $ b_1\times(b_2 \times b_3);$ $ (b_1 \times b_2) \times b_3;$ $ b_1 \times (b_3 \times b_2);$ $ (b_1 \times b_3) \times b_2;$ $ b_2 \times (b_1 \times b_3);$ $ (b_2 \times b_1) \times b_3;$ $ b_2 \times(b_3 \times b_1);$ $ (b_2 \times b_3)\times b_1;$ $ b_3 \times(b_1 \times b_2);$ $ (b_3 \times b_1)\times b_2;$ $ b_3 \times(b_2 \times b_1);$ $ (b_3 \times b_2) \times b_1.$ ¿De cuántas maneras puede formarse el producto de $ n$ letras distintas? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:43 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ S$ el punto de intersección de las dos rectas $ l_1 : 7x - 5y + 8 = 0$ y $ l_2 : 3x + 4y - 13 = 0.$ Sean $ P = (3, 7), Q = (11, 13),$ y sean $ A$ y $ B$ puntos en la recta $ PQ$ tales que $ P$ está entre $ A$ y $ Q,$ y $ B$ está entre $ P$ y $ Q,$ y tales que \[ \frac{PA}{AQ} = \frac{PB}{BQ} = \frac{2}{3}.\] Sin hallar las coordenadas de $ B,$ encuentre las ecuaciones de las rectas $ SA$ y $ SB.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:41 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ (\log_2(x))^2 - 4 \cdot \log_2(x) - m^2 - 2m - 13 = 0$ una ecuación en $ x.$ Demuestre que: (a) Para cualquier valor real de $ m$ la ecuación tiene dos soluciones distintas. (b) El producto de las soluciones de la ecuación no depende de $ m.$ (c) Una de las soluciones de la ecuación es menor que 1, mientras que la otra solución es mayor que 1. Encuentre el valor mínimo de la solución mayor y el valor máximo de la solución menor. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:35 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Las expresiones $ a + b + c, ab + ac + bc$ y $ abc$ se denominan expresiones simétricas elementales en las tres letras $ a, b, c;$ simétricas porque si intercambiamos dos letras cualesquiera, por ejemplo $ a$ y $ c,$ las expresiones permanecen algebraicamente iguales. El grado común de sus términos se denomina orden de la expresión. Sea $ S_k(n)$ la expresión elemental en $ k$ letras diferentes de orden $ n;$ por ejemplo $ S_4(3) = abc + abd + acd + bcd.$ Hay cuatro términos en $ S_4(3).$ ¿Cuántos términos hay en $ S_{9891}(1989)?$ (Suponga que tenemos $ 9891$ letras diferentes.) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:53 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un cuadrilátero bicéntrico es aquel que es tanto inscribible en un círculo como circunscribible alrededor de uno, es decir, existen tanto el círculo inscrito como el círculo circunscrito. Demuestre que, para tal cuadrilátero, los centros de los dos círculos asociados son colineales con el punto de intersección de las diagonales. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 10:14 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El conjunto $ \{a_0, a_1, \ldots, a_n\}$ de números reales satisface las siguientes condiciones: (i) $ a_0 = a_n = 0,$ (ii) para $ 1 \leq k \leq n - 1,$ \[ a_k = c + \sum^{n-1}_{i=k} a_{i-k} \cdot \left(a_i + a_{i+1} \right)\] Demuestre que $ c \leq \frac{1}{4n}.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:33 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $ A$ y $ B$ puntos distintos fijos en el eje $ X$, ninguno de los cuales coincide con el origen $ O(0, 0),$ y sea $ C$ un punto en el eje $ Y$ de un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. Sea $ g$ una recta que pasa por el origen $ O(0, 0)$ y es perpendicular a la recta $ AC.$ Encuentre el lugar geométrico del punto de intersección de las rectas $ g$ y $ BC$ si $ C$ varía a lo largo del eje $ Y.$ Dé una ecuación y una descripción del lugar geométrico. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 18 de sep. de 2008, 9:22 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Al conectar los vértices de un $n$-gono regular obtenemos un $n$-gono cerrado (no necesariamente convexo). Demuestre que si $n$ es par, entonces existen dos segmentos paralelos entre los segmentos de conexión y si $n$ es impar, entonces no puede haber exactamente dos segmentos paralelos. Z K Y