Olimpiada Internacional de Matemáticas (Listas Largas) 1967 Problema 13
Determinar si entre todos los cuadriláteros, cuyos interiores se encuentran dentro de un semicírculo de radio $r$, existe uno (o más) con área máxima. Si es así, determinar su forma y área.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Listas Largas 1967 Problema 12
Dado un segmento $AB$ de longitud 1, define el conjunto $M$ de puntos de la siguiente manera: contiene dos puntos $A,B,$ y también todos los puntos obtenidos de $A,B$ iterando la siguiente regla: Con cada par de puntos $X,Y$ el conjunto $M$ contiene también el punto $Z$ del segmento $XY$ para el cual $YZ = 3XZ$.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Listas Largas 1967 Problema 11
Sea $n$ un entero positivo. Encuentra el número máximo de triángulos no congruentes cuyas longitudes de los lados son enteros $\leq n$.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Listas Largas 1967 Problema 10
El cuadrado $ABCD$ tiene que ser descompuesto en $n$ triángulos (que no se superpongan) y que tengan todos los ángulos agudos. Encuentra el entero $n$ más pequeño para el cual existe una solución de ese problema y para tal $n$ construye al menos una descomposición. Responde si es posible pedir además que (al menos) uno de estos triángulos tenga el perímetro menor que un número positivo dado arbitrariamente.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Listas Largas 1967 Problema 9
Dado un círculo $k$ y su diámetro $AB$. Encuentra el lugar geométrico de los centros de los círculos inscritos en los triángulos que tienen un vértice en $AB$ y otros dos vértices en $k$.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1967 Problema 8
El paralelogramo $ABCD$ tiene $AB=a,AD=1,$ $\angle BAD=A$ , y el triángulo $ABD$ tiene todos los ángulos agudos. Demostrar que los círculos de radio $1$ y centro $A,B,C,D$ cubren el paralelogramo si y solo si \[a\le\cos A+\sqrt3\sin A.\]
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1967 Problema 7
Encontrar todas las soluciones reales del sistema de ecuaciones: $\sum^n_{k=1} x^i_k = a^i$ para $i = 1,2, \ldots, n.$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1967 Problema 6
Resolver el sistema de ecuaciones: $\n\begin{matrix}\n|x+y| + |1-x| = 6 \\\n|x+y+1| + |1-y| = 4.\n\end{matrix}\n$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1967 Problema 5
Resolver el sistema de ecuaciones: $ \n\begin{matrix} \nx^2 + x - 1 = y \\ y^2 + y - 1 = z \\ z^2 + z - 1 = x.\n\end{matrix}\n$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1967 Problema 4
Suponga que las medianas $m_a$ y $m_b$ de un triángulo son ortogonales. Demostrar que:\n(a) Las medianas del triángulo corresponden a los lados de un triángulo rectángulo.\n(b) Si $a,b,c$ son las longitudes de los lados del triángulo, entonces, se cumple la siguiente desigualdad: \[5(a^2+b^2-c^2)\geq 8ab\]
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