Para cada entero positivo $m$ sea $t_m$ el entero positivo más pequeño que no divide a $m$ . Demuestre que hay infinitos enteros positivos que no se pueden representar en la forma $m + t_m$ . (A. Golovanov)

Encuentra todos los enteros positivos $a\geq 2 $ y $b\geq2$ tales que $a$ es par y todos los dígitos de $a^b+1$ son iguales.

Sea $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ su circuncírculo. Denotemos $\Delta$ la tangente en $A$ al círculo $\Gamma$ . $\Gamma_1$ es un círculo tangente a las líneas $\Delta$ , $(AB)$ y $(BC)$ , y $E$ su punto de tangencia con la línea $(AB)$ . Sea $\Gamma_2$ un círculo tangente a las líneas $\Delta$ , $(AC)$ y $(BC)$ , y $F$ su punto de tangencia con la línea $(AC)$ . Suponemos que $E$ y $F$ pertenecen respectivamente a los segmentos $[AB]$ y $[AC]$ , y que los dos círculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se encuentran fuera del triángulo $ABC$ . Demuestra que las líneas $(BC)$ y $(EF)$ son paralelas.

Para conectarse al sitio OFM, Alice debe elegir una contraseña. Esta última debe constar de $n$ caracteres entre los siguientes $27$ caracteres: $$A, B, C, . . ., Y , Z, \#$$ Decimos que una contraseña $m$ es redundante si podemos colorear en rojo y azul un bloque de letras consecutivas de $m$ de tal manera que la palabra formada por las letras rojas sea idéntica a la palabra formada por las letras azules. Por ejemplo, la contraseña $H\#ZBZJBJZ$ es redundante, porque contiene el bloque ZB Z J BJ, donde la palabra $ZBJ$ aparece tanto en azul como en rojo. De lo contrario, la contraseña $ABCACB$ no es redundante. Demuestra que, para cualquier entero $n \ge 1$ , existen al menos $18^n$ contraseñas de longitud $n$ , es decir, formadas por $n$ caracteres cada una, que no son redundantes.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z} $ tales que $f(m+n)+f(m)f(n)=n^2(f(m)+1)+m^2(f(n)+1)+mn(2-mn)$ se cumple para todo $m,n \in \mathbb{Z}$

Encuentra el entero más pequeño $n\geq1$ tal que la ecuación: $$a^2+b^2+c^2-nd^2=0 $$ tenga a $(0,0,0,0)$ como solución única.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo, y $D$ la intersección de la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ y la bisectriz perpendicular de $AC$ . La línea paralela a $AC$ que pasa por el punto $B$ , intersecta la línea $AD$ en $X$ . La línea paralela a $CX$ que pasa por el punto $B$ , intersecta $AC$ en $Y$ . $E = (AYB) \cap BX$ . Demuestra que $C$ , $D$ y $E$ son colineales.

Consideramos una tabla de $n \times n$, con $n\ge1$ . Aya desea colorear $k$ celdas de esta tabla de tal manera que haya una forma única de colocar $n$ fichas en cuadrados coloreados sin que dos fichas estén en la misma fila o columna. ¿Cuál es el valor máximo de $k$ para el cual el deseo de Aya es alcanzable?

Encuentra todos los enteros $n\geq1$ tales que $\lfloor\sqrt{n}\rfloor \mid n$

Inicialmente, un polinomio no constante $S(x)$ con coeficientes reales está escrito en una pizarra. Siempre que la pizarra contenga un polinomio $P(x)$ , no necesariamente solo, se puede escribir en la pizarra cualquier polinomio de la forma $P(C + x)$ o $C + P(x)$ donde $C$ es una constante real. Además, si la pizarra contiene dos (no necesariamente distintos) polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ , se puede escribir $P(Q(x))$ y $P(x) + Q(x)$ en la pizarra. Ningún polinomio se borra jamás de la pizarra. Dados dos conjuntos de números reales, $A = \{ a_1, a_2, \dots, a_n \}$ y $B = \{ b_1, \dots, b_n \}$ , un polinomio $f(x)$ con coeficientes reales es $(A,B)$ - agradable si $f(A) = B$ , donde $f(A) = \{ f(a_i) : i = 1, 2, \dots, n \}$ . Determine todos los polinomios $S(x)$ que se pueden escribir inicialmente en la pizarra de tal manera que, para cualesquiera dos conjuntos finitos $A$ y $B$ de números reales, con $|A| = |B|$ , se pueda producir un polinomio $(A,B)$ - agradable en un número finito de pasos.