Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Demuestra que para $a_1, \dots, a_n \in [1,2^k]$ se tiene que \[ \sum_{i = 1}^n \frac{a_i}{\sqrt{a_1^2 + \dots + a_i^2}} \le 4 \sqrt{kn}. \]

Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ que satisfacen \[f^{a^{2} + b^{2}}(a+b) = af(a) +bf(b)\] para todos los enteros $a$ y $b$

Una maga tiene la intención de realizar el siguiente truco. Ella anuncia un entero positivo $n$ , junto con $2n$ números reales $x_1 < \dots < x_{2n}$. Un miembro de la audiencia entonces secretamente elige un polinomio $P(x)$ de grado $n$ con coeficientes reales, calcula los $2n$ valores $P(x_1), \dots , P(x_{2n})$ , y escribe estos $2n$ valores en la pizarra en orden no decreciente. Después de eso la maga anuncia el polinomio secreto a la audiencia. ¿Puede la maga encontrar una estrategia para realizar tal truco?

Los números reales $a, b, c, d$ son tales que $a\geq b\geq c\geq d>0$ y $a+b+c+d=1$. Demuestre que \n\[(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d<1\]

Suponga que $a,b,c,d$ son números reales positivos que satisfacen $(a+c)(b+d)=ac+bd$. Encuentre el menor valor posible de $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}.$$

Sea $\mathcal{A}$ el conjunto de todos los polinomios en tres variables $x, y, z$ con coeficientes enteros. Sea $\mathcal{B}$ el subconjunto de $\mathcal{A}$ formado por todos los polinomios que pueden ser expresados como \n\begin{align*}\n(x + y + z)P(x, y, z) + (xy + yz + zx)Q(x, y, z) + xyzR(x, y, z)\n\end{align*} con $P, Q, R \in \mathcal{A}$ . Encuentre el entero no negativo más pequeño $n$ tal que $x^i y^j z^k \in \mathcal{B}$ para todos los enteros no negativos $i, j, k$ que satisfacen $i + j + k \geq n$ .

Sea $n$ un entero positivo, y sea $N=2^{n}$. Determine el número real más pequeño $a_{n}$ tal que, para todo real $x$, \n\[\n\sqrt[N]{\frac{x^{2 N}+1}{2}} \leqslant a_{n}(x-1)^{2}+x .\n\]

Sea $f(k)$ el número de enteros $n$ que satisfacen las siguientes condiciones: (i) $0\leq n < 10^k$, por lo que $n$ tiene exactamente $k$ dígitos (en notación decimal), con ceros a la izquierda permitidos; (ii) los dígitos de $n$ se pueden permutar de tal manera que produzcan un entero divisible por $11$. Demuestre que $f(2m) = 10f(2m-1)$ para cada entero positivo $m$.

Cada punto con coordenadas enteras en el plano es el centro de un disco con radio $1/1000$ .\n(1) Demuestre que existe un triángulo equilátero cuyos vértices se encuentran en discos diferentes.\n(2) Demuestre que cada triángulo equilátero con vértices en discos diferentes tiene una longitud de lado mayor que $96$ .

Sean $x_1,\ldots, x_n$ e $y_1,\ldots, y_n$ números reales. Sea $A = (a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ la matriz con entradas\n\[a_{ij} = \begin{cases}1,&\text{si }x_i + y_j\geq 0;\\0,&\text{si }x_i + y_j < 0.\end{cases}\]\nSuponga que $B$ es una matriz de $n\times n$ con entradas $0$ , $1$ tal que la suma de los elementos en cada fila y cada columna de $B$ es igual a la suma correspondiente para la matriz $A$ . Demuestre que $A=B$ .