Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $BC=CA$ , y sea $D$ un punto dentro del lado $AB$ tal que $AD< DB$ . Sean $P$ y $Q$ dos puntos dentro de los lados $BC$ y $CA$ , respectivamente, tales que $\angle DPB = \angle DQA = 90^{\circ}$ . Sea la bisectriz perpendicular de $PQ$ que se encuentra con el segmento de línea $CQ$ en $E$ , y sean las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $CPQ$ que se encuentran nuevamente en el punto $F$ , diferente de $C$ . Suponga que $P$ , $E$ , $F$ son colineales. Demuestra que $\angle ACB = 90^{\circ}$ .

Los jugadores $A$ y $B$ juegan un juego en una pizarra que inicialmente contiene 2020 copias del número 1 . En cada ronda, el jugador $A$ borra dos números $x$ e $y$ de la pizarra, y luego el jugador $B$ escribe uno de los números $x+y$ y $|x-y|$ en la pizarra. El juego termina tan pronto como, al final de alguna ronda, se cumple una de las siguientes condiciones: $(1)$ uno de los números en la pizarra es mayor que la suma de todos los demás números; $(2)$ solo hay ceros en la pizarra. El jugador $B$ debe darle tantos caramelos al jugador $A$ como números haya en la pizarra. El jugador $A$ quiere obtener tantos caramelos como sea posible, mientras que el jugador $B$ quiere dar lo menos posible. Determina el número de caramelos que recibe $A$ si ambos jugadores juegan de manera óptima.

Considera cualquier tabla rectangular que tenga un número finito de filas y columnas, con un número real $a(r, c)$ en la celda en la fila $r$ y la columna $c$ . Un par $(R, C)$ , donde $R$ es un conjunto de filas y $C$ un conjunto de columnas, se llama par de silla si se cumplen las dos condiciones siguientes: $(i)$ Para cada fila $r^{\prime}$ , existe $r \in R$ tal que $a(r, c) \geqslant a\left(r^{\prime}, c\right)$ para todo $c \in C$ ; $(ii)$ Para cada columna $c^{\prime}$ , existe $c \in C$ tal que $a(r, c) \leqslant a\left(r, c^{\prime}\right)$ para todo $r \in R$ . Un par de silla $(R, C)$ se llama par mínimo si para cada par de silla $\left(R^{\prime}, C^{\prime}\right)$ con $R^{\prime} \subseteq R$ y $C^{\prime} \subseteq C$ , tenemos $R^{\prime}=R$ y $C^{\prime}=C$ . Demuestra que dos pares mínimos cualesquiera contienen el mismo número de filas.

Hay $4n$ piedras que pesan $1, 2, 3, \dots, 4n.$ Cada piedra está coloreada con uno de $n$ colores y hay cuatro piedras de cada color. Demuestra que podemos ordenar las piedras en dos montones de manera que se satisfagan las dos condiciones siguientes: El peso total de ambos montones es el mismo. Cada montón contiene dos piedras de cada color.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Los puntos $K, L, M, N$ se eligen en $AB, BC, CD, DA$ tales que $KLMN$ es un rombo con $KL \parallel AC$ y $LM \parallel BD$ . Sean $\omega_A, \omega_B, \omega_C, \omega_D$ las circunferencias inscritas de $\triangle ANK, \triangle BKL, \triangle CLM, \triangle DMN$ . Demuestra que las tangentes internas comunes a $\omega_A$ y $\omega_C$ y las tangentes internas comunes a $\omega_B$ y $\omega_D$ son concurrentes.

En el plano, hay $n \geqslant 6$ discos disjuntos por pares $D_{1}, D_{2}, \ldots, D_{n}$ con radios $R_{1} \geqslant R_{2} \geqslant \ldots \geqslant R_{n}$ . Para cada $i=1,2, \ldots, n$ , se elige un punto $P_{i}$ en el disco $D_{i}$ . Sea $O$ un punto arbitrario en el plano. Demuestra que \[O P_{1}+O P_{2}+\ldots+O P_{n} \geqslant R_{6}+R_{7}+\ldots+R_{n}.\] (Se asume que un disco contiene su frontera.)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle ABC>90$ , $CDA>90$ y $\angle DAB=\angle BCD$ . Denotemos por $E$ y $F$ las reflexiones de $A$ en las líneas $BC$ y $CD$ , respectivamente. Supongamos que los segmentos $AE$ y $AF$ se encuentran con la línea $BD$ en $K$ y $L$ , respectivamente. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BEK$ y $DFL$ son tangentes entre sí.

Considera el cuadrilátero convexo $ABCD$ . El punto $P$ está en el interior de $ABCD$ . Se cumplen las siguientes igualdades de razones: \[\angle PAD:\angle PBA:\angle DPA=1:2:3=\angle CBP:\angle BAP:\angle BPC\] Demuestra que las siguientes tres líneas se encuentran en un punto: las bisectrices internas de los ángulos $\angle ADP$ y $\angle PCB$ y la bisectriz perpendicular del segmento $AB$ .

Sea $n$ un entero positivo. Encuentra el número de permutaciones $a_1$ , $a_2$ , $\dots a_n$ de la secuencia $1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ que satisfacen $$a_1 \le 2a_2\le 3a_3 \le \dots \le na_n$$ .

Sea $R^+$ el conjunto de números reales positivos. Determine todas las funciones $f:R^+$ $\rightarrow$ $R^+$ tales que para todos los números reales positivos $x$ e $y:$ $$f(x+f(xy))+y=f(x)f(y)+1$$