Para un entero positivo $n$ , sea $d(n)$ el número de divisores positivos de $n$ , y sea $\varphi(n)$ el número de enteros positivos que no exceden $n$ que son coprimos con $n$ . ¿Existe una constante $C$ tal que $$ \frac {\varphi ( d(n))}{d(\varphi(n))}\le C$$ para todo $n\ge 1$ ?

Determine todas las funciones $f$ definidas en el conjunto de todos los enteros positivos y que toman valores enteros no negativos, que satisfacen las tres condiciones:\n$(i)$ $f(n) \neq 0$ para al menos un $n$ ;\n$(ii)$ $f(x y)=f(x)+f(y)$ para cada enteros positivos $x$ e $y$ ;\n$(iii)$ hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $f(k)=f(n-k)$ para todo $k<n$ .

Para cualquier primo impar $p$ y cualquier entero $n$, sea $d_p (n) \in \{ 0,1, \dots, p-1 \}$ el resto cuando $n$ se divide por $p$. Decimos que $(a_0, a_1, a_2, \dots)$ es una p-sucesión, si $a_0$ es un entero positivo coprimo con $p$, y $a_{n+1} =a_n + d_p (a_n)$ para $n \geqslant 0$.\n(a) ¿Existen infinitos primos $p$ para los cuales existen $p$ - sucesiones $(a_0, a_1, a_2, \dots)$ y $(b_0, b_1, b_2, \dots)$ tales que $a_n >b_n$ para infinitos $n$, y $b_n > a_n$ para infinitos $n$?\n(b) ¿Existen infinitos primos $p$ para los cuales existen $p$ - sucesiones $(a_0, a_1, a_2, \dots)$ y $(b_0, b_1, b_2, \dots)$ tales que $a_0 <b_0$, pero $a_n >b_n$ para todo $n \geqslant 1$?

Se da una baraja de $n > 1$ cartas. Un entero positivo está escrito en cada carta. La baraja tiene la propiedad de que la media aritmética de los números en cada par de cartas es también la media geométrica de los números en alguna colección de una o más cartas. ¿Para qué $n$ se deduce que los números en las cartas son todos iguales?

Para cada primo $p$, construya un grafo $G_p$ en $\{1,2,\ldots p\}$, donde $m\neq n$ son adyacentes si y solo si $p$ divide $(m^{2} + 1-n)(n^{2} + 1-m)$. Demuestre que $G_p$ está desconectado para infinitos $p$.

Dado un entero positivo $k$, demuestra que existe un primo $p$ tal que se pueden elegir enteros distintos $a_1, a_2, \cdots, a_{k+3} \in \{1, 2, \cdots, p-1\}$ tal que $p$ divide a $a_i a_{i+1} a_{i+2} a_{i+3} - i$ para todo $i = 1, 2, \cdots, k$.

Demuestra que existe una constante positiva $c$ tal que la siguiente afirmación es verdadera: Considera un entero $n > 1$ y un conjunto $\mathcal S$ de $n$ puntos en el plano tal que la distancia entre dos puntos diferentes en $\mathcal S$ es al menos 1. Se deduce que hay una línea $\ell$ que separa a $\mathcal S$ tal que la distancia desde cualquier punto de $\mathcal S$ a $\ell$ es al menos $cn^{-1/3}$. (Una línea $\ell$ separa un conjunto de puntos S si algún segmento que une dos puntos en $\mathcal S$ cruza $\ell$.) Nota. Los resultados más débiles con $cn^{-1/3}$ reemplazado por $cn^{-\alpha}$ pueden ser premiados con puntos dependiendo del valor de la constante $\alpha > 1/3$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y circunferencia circunscrita $\Gamma$. Los círculos $\omega_{B}$ que pasan por $B$ y $\omega_{C}$ que pasan por $C$ son tangentes en $I$. Sea $\omega_{B}$ intersectar el arco menor $AB$ de $\Gamma$ en $P$ y $AB$ en $M\neq B$, y sea $\omega_{C}$ intersectar el arco menor $AC$ de $\Gamma$ en $Q$ y $AC$ en $N\neq C$. Los rayos $PM$ y $QN$ se encuentran en $X$. Sea $Y$ un punto tal que $YB$ es tangente a $\omega_{B}$ y $YC$ es tangente a $\omega_{C}$. Demuestra que $A, X, Y$ son colineales.

Sea $P$ un punto en la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$. Sean $D, E, F$ las reflexiones de $P$ en la $A$-línea media, la $B$-línea media y la $C$-línea media. Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo formado por las bisectrices perpendiculares de $AD, BE, CF$. Demuestra que las circunferencias circunscritas de $\triangle ADP, \triangle BEP, \triangle CFP$ y $\omega$ comparten un punto común.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$ , incentro $I$ y $A$ excentro $I_{A}$ . La circunferencia inscrita se encuentra con $BC$ en $D$ . Define $E = AD\cap BI_{A}$ , $F = AD\cap CI_{A}$ . Demuestra que la circunferencia circunscrita de $\triangle AID$ y $\triangle I_{A}EF$ son tangentes entre sí.