Sea $n \geq 5$ un entero dado. Determine el mayor entero $k$ para el cual existe un polígono con $n$ vértices (convexo o no, con frontera sin auto-intersecciones) que tiene $k$ ángulos rectos internos.

Sean $ D_1 $ , $ D_2 $ , ..., $ D_n $ discos cerrados en el plano. (Un disco cerrado es la región limitada por un círculo, tomada conjuntamente con este círculo). Suponga que cada punto en el plano está contenido en como máximo 2003 discos $ D_i $ . Demuestre que existe un disco $ D_k $ que interseca como máximo a $ 7\cdot 2003 - 1 = 14020 $ otros discos $ D_i $ .

Considera pares de secuencias de números reales positivos\n\[a_1\geq a_2\geq a_3\geq\cdots,\qquad b_1\geq b_2\geq b_3\geq\cdots\]\ny las sumas\n\[A_n = a_1 + \cdots + a_n,\quad B_n = b_1 + \cdots + b_n;\qquad n = 1,2,\ldots.\]\nPara cualquier par define $c_n = \min\{a_i,b_i\}$ y $C_n = c_1 + \cdots + c_n$ , $n=1,2,\ldots$ .\n(1) ¿Existe un par $(a_i)_{i\geq 1}$ , $(b_i)_{i\geq 1}$ tal que las secuencias $(A_n)_{n\geq 1}$ y $(B_n)_{n\geq 1}$ son no acotadas mientras que la secuencia $(C_n)_{n\geq 1}$ es acotada?\n(2) ¿Cambia la respuesta a la pregunta (1) asumiendo adicionalmente que $b_i = 1/i$ , $i=1,2,\ldots$ ?\nJustifica tu respuesta.

Encuentra todas las funciones no decrecientes $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tales que (i) $f(0) = 0, f(1) = 1;$ (ii) $f(a) + f(b) = f(a)f(b) + f(a + b - ab)$ para todos los números reales $a, b$ tales que $a < 1 < b$ .

Primero que todo, si los vectores $\vec {u_i}=(a_{i1},\ a_{i2},\ a_{i3})$ son coplanarios, entonces es fácil mostrar que todos los tres componentes de la solución no nula del sistema $a_{i1}c_i+a_{i2}c_2+a_{i3}c_3=0$ tienen el mismo signo. En este caso encontramos $c_i$ positivos tal que todas esas expresiones son iguales a $0$. Podemos así asumir que los tres vectores no son coplanarios (o, en otras palabras, podemos asumir que son independientes). Tenemos que encontrar tres números positivos $t_i$ tal que todos los componentes de la solución del sistema $a_{i1}c_1+a_{i2}c_2+a_{i3}c_3=t_i$ tienen el mismo signo. En otras palabras, tenemos que encontrar $t_i$ positivos tal que los tres determinantes obtenidos de $\left |\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right |$ al reemplazar una columna con $\left (\begin{array}{c}t_1\\ t_2\\ t_3\end{array} \right )$ tienen el mismo signo. Esto se traduce a que el punto $T(t_1,t_2,t_3)$ está en el interior del triedro determinado por las líneas $OP_1,OP_2,OP_3$ , donde $P_i(a_{1i},a_{2i},a_{3i}$ . No es difícil mostrar que tal punto $T$ existe (por 'triedro' entiendo la figura formada por tres líneas en el espacio, no tres rayos, como usualmente entendemos). Esta es la parte de la que no estoy convencido. Está relacionado al hecho de que el volumen orientado de un tetraedro que tiene a $O$ como vértice depende de la dirección en la que consideramos los tres vértices diferentes de $O$ (dirección horaria/antihoraria). ¿Opiniones?

Sean $a_{ij}$ $i=1,2,3$ ; $j=1,2,3$ números reales tales que $a_{ij}$ es positivo para $i=j$ y negativo para $i\neq j$ . Demuestre la existencia de números reales positivos $c_{1}$ , $c_{2}$ , $c_{3}$ tales que los números \[a_{11}c_{1}+a_{12}c_{2}+a_{13}c_{3},\qquad a_{21}c_{1}+a_{22}c_{2}+a_{23}c_{3},\qquad a_{31}c_{1}+a_{32}c_{2}+a_{33}c_{3}\] son todos negativos, todos positivos o todos cero.

Sea $p$ un número primo y sea $A$ un conjunto de enteros positivos que satisface las siguientes condiciones: (i) el conjunto de divisores primos de los elementos en $A$ consta de $p-1$ elementos; (ii) para cualquier subconjunto no vacío de $A$ , el producto de sus elementos no es una potencia $p$ -ésima perfecta. ¿Cuál es el mayor número posible de elementos en $A$ ?

La sucesión $a_0$ , $a_1$ , $a_2,$ $\ldots$ se define como sigue: \[a_0=2, \qquad a_{k+1}=2a_k^2-1 \quad\text{para }k \geq 0.\] Demuestra que si un primo impar $p$ divide a $a_n$ , entonces $2^{n+3}$ divide a $p^2-1$ .

Sea $n$ un entero positivo y sean $(x_1,\ldots,x_n)$ , $(y_1,\ldots,y_n)$ dos sucesiones de números reales positivos. Suponga que $(z_2,\ldots,z_{2n})$ es una sucesión de números reales positivos tal que $z_{i+j}^2 \geq x_iy_j$ para todo $1\le i,j \leq n$ . Sea $M=\max\{z_2,\ldots,z_{2n}\}$ . Demuestre que\n\[ \left( \frac{M+z_2+\dots+z_{2n}}{2n} \right)^2 \ge \left( \frac{x_1+\dots+x_n}{n} \right) \left( \frac{y_1+\dots+y_n}{n} \right). \]

Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de todos los números reales positivos. Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ que satisfacen las siguientes condiciones:\n- $f(xyz)+f(x)+f(y)+f(z)=f(\sqrt{xy})f(\sqrt{yz})f(\sqrt{zx})$ para todo $x,y,z\in\mathbb{R}^+$ ;\n- $f(x)<f(y)$ para todo $1\le x<y$ .