Tenemos un conjunto de $343$ jarras cerradas, cada una conteniendo canicas azules, amarillas y rojas con el número de canicas de cada color siendo al menos $1$ y a lo más $7$. No hay dos jarras que tengan exactamente el mismo contenido. Inicialmente todas las jarras están con las tapas hacia arriba. Dar vuelta una jarra significará cambiar su posición de tapa hacia arriba a tapa hacia abajo o viceversa. Se permite elegir una terna de enteros positivos $(b; y; r) \in \{1; 2; ...; 7\}^3$ y dar vuelta todas las jarras cuyo número de canicas azules, amarillas y rojas difieren en no más de $1$ de $b, y, r$, respectivamente. Después de $n$ movimientos todas las jarras resultaron estar con las tapas hacia abajo. Encuentra el número de todos los valores posibles de $n$, si $n \le 2021$.

Sea $n$ un entero positivo. Se nos da un tablero de $3n \times 3n$ cuyos cuadrados unitarios están coloreados en blanco y negro de tal manera que, comenzando con el cuadrado superior izquierdo, cada tercera diagonal está coloreada en negro y el resto del tablero está en blanco. En un movimiento, uno puede tomar un cuadrado de $2 \times 2$ y cambiar el color de todos sus cuadrados de tal manera que los cuadrados blancos se vuelvan naranjas, los naranjas se vuelvan negros y los negros se vuelvan blancos. Encuentra todos los $n$ para los cuales, usando un número finito de movimientos, podemos hacer que todos los cuadrados que inicialmente eran negros se vuelvan blancos, y todos los cuadrados que inicialmente eran blancos se vuelvan negros.

En Mathcity, hay infinitos autobuses e infinitas estaciones. Las estaciones están indexadas por las potencias de $2: 1, 2, 4, 8, 16, ...$ Cada autobús pasa por un número finito de estaciones, y el número del autobús es la suma de todas las estaciones por las que pasa. Para simplificar, el alcalde de Mathcity desea que los números de los autobuses formen una progresión aritmética con diferencia común $r$ y cuyo primer término sea el número favorito del alcalde. ¿Para qué enteros positivos $r$ es siempre posible que, sin importar el número favorito del alcalde, dados $m$ estaciones, haya un autobús que pase por todas ellas?

Alice elige un número primo $p > 2$ y luego Bob elige un entero positivo $n_0$. Alice, en el primer movimiento, elige un entero $n_1 > n_0$ y calcula la expresión $s_1 = n_0^{n_1} + n_1^{n_0}$; luego Bob, en el segundo movimiento, elige un entero $n_2 > n_1$ y calcula la expresión $s_2 = n_1^{n_2} + n_2^{n_1}$; etc. uno por uno. (Cada jugador conoce los números elegidos por el otro en los movimientos anteriores). El ganador es el que primero elige el número $n_k$ tal que $p$ divide a $s_k(s_1 + 2s_2 + · · · + ks_k)$. ¿Quién tiene una estrategia ganadora?

Dado un entero positivo $n \ge 2$, definimos $f(n)$ como la suma de todos los restos obtenidos al dividir $n$ por todos los enteros positivos menores que $n$. Por ejemplo, dividiendo $5$ entre $1, 2, 3$ y $4$ tenemos restos iguales a $0, 1, 2$ y $1$ respectivamente. Por lo tanto, $f(5) = 0 + 1 + 2 + 1 = 4$. Encuentra todos los enteros positivos $n \ge 3$ tales que $f(n) = f(n - 1) + (n - 2)$.

Encuentra todos los pares de enteros $(x, y)$ tales que $x^2 + 5y^2 = 2021y$.

Dragos, el antiguo gobernante de Moldavia, y María la Oráculo juegan el siguiente juego. En primer lugar, María elige un conjunto $S$ de números primos. Luego Dragos da una secuencia infinita $x_1, x_2, ...$ de enteros positivos distintos. Luego María elige un entero positivo $M$ y un número primo $p$ de su conjunto $S$. Finalmente, Dragos elige un entero positivo $N$ y el juego termina. Dragos gana si y solo si para todos los enteros $n \ge N$ el número $x_n$ es divisible por $p^M$; de lo contrario, María gana. ¿Quién tiene una estrategia ganadora si el conjunto S debe ser: a ) finito; b ) infinito?

Para cualquier conjunto $A = \{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\}$ de cinco enteros positivos distintos, denotamos por $S_A$ la suma de sus elementos, y denotamos por $T_A$ el número de ternas $(i, j, k)$ con $1 \le i < j < k \le 5$ para las cuales $x_i + x_j + x_k$ divide a $S_A$. Encuentra el mayor valor posible de $T_A$.

Los números reales $x, y$ y $z$ son tales que $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.\na) Determine los valores posibles más pequeño y más grande de $xy + yz - xz$.\nb) Demuestre que no existe una tripleta $(x, y, z)$ de números racionales, que alcance cualquiera de los dos valores en a).

Encuentra todos los enteros positivos $a, b, c$ tales que $ab + 1$, $bc + 1$ y $ca + 1$ sean todos iguales a factoriales de algunos enteros positivos.