Sea $\mathcal{L}$ el conjunto de todas las líneas en el plano y sea $\mathcal{P}$ el conjunto de todos los puntos en el plano. Determine si existe una función $g : \mathcal{L} \to \mathcal{P}$ tal que para cualesquiera dos líneas no paralelas distintas $\ell_1, \ell_2 \in \mathcal{L}$ , tenemos $(a)$ $g(\ell_1) \neq g(\ell_2)$ , y $(b)$ si $\ell_3$ es la línea que pasa por $g(\ell_1)$ y $g(\ell_2)$ , entonces $g(\ell_3)$ es la intersección de $\ell_1$ y $\ell_2$ .

Determine todas las funciones continuas $f : \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}$ que satisfacen $$\nf(x) = (x+1) f(x^2),\n$$ para todo $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ .

Alicia tiene seis cajas etiquetadas del 1 al 6. Ella elige en secreto exactamente dos de las cajas y coloca una moneda dentro de cada una. Bob está tratando de adivinar qué dos cajas contienen las monedas. Cada vez que Bob adivina, lo hace tocando exactamente dos de las cajas. Alicia luego responde diciéndole el número total de monedas dentro de las dos cajas que tocó. Bob encuentra con éxito las dos monedas cuando Alicia responde con el número 2. ¿Cuál es el entero positivo más pequeño $n$ tal que Bob siempre puede encontrar las dos monedas en como máximo $n$ intentos?

Defina una secuencia por $s_0 = 1$ y para $d \geq 1$ , $s_d = s_{d-1} + X_d$ , donde $X_d$ se elige uniformemente al azar del conjunto $\{1, 2, \dots, d\}$ . ¿Cuál es la probabilidad de que la secuencia $s_0, s_1, s_2, \dots$ contenga infinitos primos?

Sea $W$ un entero positivo fijo. Sea $S$ el conjunto de todos los pares $(a, b)$ de enteros positivos tales que $a \neq b$ . Para cada $(a, b) \in S$ , sea $m(a,b)$ el entero más grande que satisface $$\nm(a, b) \leq \frac{1 + na}{1 + nb}\n$$ para todos los enteros $n \geq 1$ . (a) Para cada $(a, b) \in S$ , demuestre que existe un entero positivo $k$ tal que $$\nm(a,b) \leq \frac{1 + na}{W + nb}\n$$ para todo $n \geq k$ . (b) Para cada $(a, b) \in S$ , sea $k(a,b)$ el valor más pequeño de $k$ que satisface la condición de la parte (a). Determine $\max \{k(a,b) \mid (a,b) \in S \}$ o demuestre que no existe.

Un entero positivo $n$ es tripariable si es posible particionar el conjunto $\{1, 2, \dots, n\}$ en pares disjuntos tales que la suma de dos elementos en cada par es una potencia de $3$ . Por ejemplo, $6$ es tripariable porque $\{1, 2, \dots, n\}=\{1,2\}\cup\{3,6\}\cup\{4,5\}$ y $$1+2=3^1,\quad 3+6 = 3^2\quad\text{y}\quad4+5=3^2$$ son todas potencias de 3. ¿Cuántos enteros positivos menores o iguales a 2024 son tripariables?

Sean $a,b,c$ números reales mayores que 1 que satisfacen $$\lfloor a\rfloor b = \lfloor b \rfloor c = \lfloor c\rfloor a.$$ Demuestre que $a=b=c$ (Aquí, $\lfloor x \rfloor$ denota el entero más grande que es menor o igual que $x$ .)

C6 Dada una tabla de $m \times n$ que consta de $mn$ celdas unitarias. Alicia y Bob juegan el siguiente juego: Alicia va primero y quien se mueva colorea una de las celdas vacías con uno de los tres colores dados. Alicia gana si hay una figura, como las que se muestran a continuación, que tiene tres colores diferentes. De lo contrario, Bob es el ganador. Determinar el ganador para todos los casos de $m$ y $n$ donde $m, n \ge 3$. Propuesto por Toghrul Abbasov, Azerbaiyán

Sea $M$ un subconjunto del conjunto de $2021$ enteros $\{1, 2, 3, ..., 2021\}$ tal que para cualesquiera tres elementos (no necesariamente distintos) $a, b, c$ de $M$ tenemos $|a + b - c | > 10$. Determina el mayor número posible de elementos de $M$.

Alice y Bob juegan un juego juntos como un equipo en un tablero de $100 \times 100$ con todos los cuadrados unitarios inicialmente blancos. Alice configura el juego coloreando exactamente $k$ de los cuadrados unitarios de rojo al principio. Después de eso, un movimiento legal para Bob es elegir una fila o columna con al menos $10$ cuadrados rojos y colorear todos los cuadrados restantes en ella de rojo. ¿Cuál es el $k$ más pequeño tal que Alice pueda configurar un juego de tal manera que Bob pueda colorear todo el tablero de rojo después de un número finito de movimientos?