Se da un paralelogramo $ABCD$ . El excírculo del triángulo $\triangle{ABC}$ toca los lados $AB$ en $L$ y la extensión de $BC$ en $K$ . La línea $DK$ se encuentra con la diagonal $AC$ en el punto $X$ ; la línea $BX$ se encuentra con la mediana $CC_1$ del triángulo $\triangle{ABC}$ en ${Y}$ . Demuestra que la línea $YL$ , la mediana $BB_1$ del triángulo $\triangle{ABC}$ y su bisectriz $CC^\prime$ tienen un punto en común.

Cada uno de los $n$ cuadrados negros y $n$ cuadrados blancos se puede obtener mediante una traslación uno del otro. Cada dos cuadrados de diferentes colores tienen un punto en común. Demuestra que hay un punto que pertenece al menos a $n$ cuadrados.

Hay un número par de cartas sobre una mesa; se escribe un entero positivo en cada carta. Sea $a_k$ el número de cartas que tienen $k$ escrito en ellas. Se sabe que $a_n-a_{n-1}+a_{n-2}- \cdots \ge 0$ para cada entero positivo $n$ . Demuestra que las cartas se pueden dividir en pares de modo que los números en cada par difieran en $1$ .

Se dibuja un 'paralelogramo' de $k\times \ell$ en un papel con celdas hexagonales (consta de $k$ filas horizontales de $\ell$ celdas cada una). En este paralelogramo se elige un conjunto de lados no intersecantes de hexágonos; divide todos los vértices en pares. Juniors) ¿Cuántos lados verticales puede haber en este conjunto? Seniors) ¿De cuántas maneras se puede hacer eso? [asy]\nsize(120);\ndefaultpen(linewidth(0.8));\npath hex = dir(30)--dir(90)--dir(150)--dir(210)--dir(270)--dir(330)--cycle;\nfor(int i=0;i<=3;i=i+1)\n{\nfor(int j=0;j<=2;j=j+1)\n{\nreal shiftx=j*sqrt(3)/2+i*sqrt(3),shifty=j*3/2;\ndraw(shift(shiftx,shifty)*hex);\n}\n}\n[/asy]

Los números positivos $a,\ b,\ c$ satisfacen $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3$ . Demuestra la desigualdad $\dfrac{1}{\sqrt{a^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^3+1}}\le \dfrac{3}{\sqrt{2}}.$

Los puntos $K$ y $L$ en el lado $BC$ de un triángulo $\triangle{ABC}$ son tales que $\widehat{BAK}=\widehat{CAL}=90^\circ$ . Demuestra que el punto medio de la altura trazada desde $A$ , el punto medio de $KL$ y el circuncentro de $\triangle{ABC}$ son colineales.

Cuatro números consecutivos de tres dígitos se dividen respectivamente por cuatro números consecutivos de dos dígitos. ¿Qué número mínimo de restos diferentes se puede obtener?

Sea $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{0}$ , donde $a_{0},\ldots,a_{n}$ son enteros, $a_{n}>0$ , $n\geq 2$. Demostrar que existe un entero positivo $m$ tal que $P(m!)$ es un número compuesto.

Sean $a$ , $b$ enteros positivos tales que $b^n+n$ es un múltiplo de $a^n+n$ para todos los enteros positivos $n$. Demostrar que $a=b$.

Denotemos por $d(n)$ la cantidad de divisores del entero positivo $n$. Un entero positivo $n$ se llama altamente divisible si $d(n) > d(m)$ para todo entero positivo $m < n$. Dos enteros altamente divisibles $m$ y $n$ con $m < n$ se llaman consecutivos si no existe un entero altamente divisible $s$ que satisfaga $m < s < n$.\n(a) Mostrar que hay solo finitos pares de enteros altamente divisibles consecutivos de la forma $(a, b)$ con $a \mid b$.\n(b) Mostrar que para cada número primo $p$ existen infinitos enteros positivos altamente divisibles $r$ tales que $pr$ también es altamente divisible.