Probar que el conjunto de los enteros positivos no puede ser particionado en tres subconjuntos no vacíos tales que, para cualquier par de enteros $x,y$ tomados de dos subconjuntos diferentes, el número $x^2-xy+y^2$ pertenece al tercer subconjunto.

Un biólogo observa un camaleón. El camaleón atrapa moscas y descansa después de cada captura. El biólogo nota que: la primera mosca es atrapada después de un período de descanso de un minuto; el período de descanso antes de atrapar la mosca número $2m^{\text{th}}$ es el mismo que el período de descanso antes de atrapar la mosca número $m^{\text{th}}$ y un minuto más corto que el período de descanso antes de atrapar la mosca número $(2m+1)^{\text{th}}$; cuando el camaleón deja de descansar, atrapa una mosca instantáneamente. ¿Cuántas moscas fueron atrapadas por el camaleón antes de su primer período de descanso de $9$ minutos seguidos? ¿Después de cuántos minutos el camaleón atrapará su mosca número $98^{\text{th}}$? ¿Cuántas moscas fueron atrapadas por el camaleón después de que hayan pasado 1999 minutos?

Probar que cada número racional positivo puede ser representado en la forma $\dfrac{a^{3}+b^{3}}{c^{3}+d^{3}}$ donde a,b,c,d son enteros positivos.

Encontrar todos los pares de enteros positivos $(x,p)$ tales que p es un primo, $x \leq 2p$ y $x^{p-1}$ es un divisor de $ (p-1)^{x}+1$ .

Sea $n\ge 2$ un entero. Determina el número de enteros positivos $m$ tales que $m\le n$ y $m^2+1$ es divisible por $n$ .

Encuentra todos los pares de enteros positivos $(a,b)$ tales que $$a!+b!=a^b + b^a.$$

Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ con $AB>AC$ y sea la recta $AI$ que intersecta el lado $BC$ en $D$ . Suponga que el punto $P$ se encuentra en el segmento $BC$ y satisface $PI=PD$ . Además, sea $J$ el punto obtenido al reflejar $I$ sobre la mediatriz de $BC$ , y sea $Q$ la otra intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $APD$ . Demuestra que $\angle BAQ=\angle CAJ$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB>AC$ . Demuestra que existe un punto $D$ con la siguiente propiedad: siempre que dos puntos distintos $X$ e $Y$ se encuentren en el interior de $ABC$ tales que los puntos $B$ , $C$ , $X$ , e $Y$ se encuentren en una circunferencia y $$\angle AXB-\angle ACB=\angle CYA-\angle CBA$$ se cumple, la recta $XY$ pasa por $D$ .

Sea $N$ un entero positivo. En cada uno de los $N^2$ cuadrados unitarios de un tablero de $N\times N$ , se dibuja una de las dos diagonales. Las diagonales dibujadas dividen el tablero de $N\times N$ en $K$ regiones. Para cada $N$ , determina los valores posibles más pequeño y más grande de $K$ .

Hay $n$ estudiantes de pie en línea en las posiciones $1$ a $n$ . Mientras el profesor mira hacia otro lado, algunos estudiantes cambian sus posiciones. Cuando el profesor mira hacia atrás, están de pie en línea nuevamente. Si un estudiante que estaba inicialmente en la posición $i$ está ahora en la posición $j$ , decimos que el estudiante se movió $|i-j|$ pasos. Determina la suma máxima de pasos de todos los estudiantes que pueden lograr.