Si un rectángulo de $5 \times n$ puede ser embaldosado usando $n$ piezas como las que se muestran en el diagrama, probar que $n$ es par. Demostrar que hay más de $2 \cdot 3^{k-1}$ maneras de embaldosar un rectángulo fijo de $5 \times 2k$ $(k \geq 3)$ con $2k$ piezas. (Se supone que las construcciones simétricas son diferentes).

Sea $n \geq 1$ un entero. Un camino desde $(0,0)$ hasta $(n,n)$ en el plano $xy$ es una cadena de movimientos unitarios consecutivos, ya sea hacia la derecha (movimiento denotado por $E$) o hacia arriba (movimiento denotado por $N$), todos los movimientos realizados dentro del semiplano $x \geq y$. Un paso en un camino es la ocurrencia de dos movimientos consecutivos de la forma $EN$. Demostrar que el número de caminos desde $(0,0)$ hasta $(n,n)$ que contienen exactamente $s$ pasos $(n \geq s \geq 1)$ es \[\frac{1}{s} \binom{n-1}{s-1} \binom{n}{s-1}.\]

Demuestra que para cada número real $M$ existe una progresión aritmética infinita tal que:\n- cada término es un entero positivo y la diferencia común no es divisible por 10\n- la suma de los dígitos de cada término (en representación decimal) excede $M$ .

Sean $n,k$ enteros positivos tales que n no es divisible por 3 y $k \geq n$ . Demuestra que existe un entero positivo $m$ que es divisible por $n$ y la suma de sus dígitos en representación decimal es $k$ .

Denotemos por S el conjunto de todos los primos tales que la representación decimal de $\frac{1}{p}$ tiene el período fundamental divisible por 3. Para cada $p \in S$ tal que $\frac{1}{p}$ tiene el período fundamental $3r$ se puede escribir\n$$\frac{1}{p}=0,a_{1}a_{2}\ldots a_{3r}a_{1}a_{2} \ldots a_{3r} \ldots , $$\ndonde $r=r(p)$ ; para cada $p \in S$ y cada entero $k \geq 1$ definimos $f(k,p)$ por\n$$ f(k,p)= a_{k}+a_{k+r(p)}+a_{k+2.r(p)}$$\na) Demuestra que $S$ es infinito.\nb) Encuentra el valor más alto de $f(k,p)$ para $k \geq 1$ y $p \in S$

Probar que existen dos secuencias estrictamente crecientes $(a_{n})$ y $(b_{n})$ tales que $a_{n}(a_{n}+1)$ divide a $b^{2}_{n}+1$ para cada n natural.

Dado un triángulo $ABC$. Los puntos $A$, $B$, $C$ dividen la circunferencia circunscrita $\Omega$ del triángulo $ABC$ en tres arcos $BC$, $CA$, $AB$. Sea $X$ un punto variable en el arco $AB$, y sean $O_{1}$ y $O_{2}$ los incentros de los triángulos $CAX$ y $CBX$. Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo $XO_{1}O_{2}$ intersecta el círculo $\Omega$ en un punto fijo.

El punto $M$ está dentro del cuadrilátero convexo $ABCD$, tal que\n\[ MA = MC, \hspace{0,2cm} \widehat{AMB} = \widehat{MAD} + \widehat{MCD} \quad \textnormal{y} \quad \widehat{CMD} = \widehat{MCB} + \widehat{MAB}. \]\nDemuestra que $AB \cdot CM = BC \cdot MD$ y $BM \cdot AD = MA \cdot CD.$

Para $n \geq 3$ y $a_{1} \leq a_{2} \leq \ldots \leq a_{n}$ dados números reales tenemos las siguientes instrucciones: - Colocar los números en algún orden en un anillo; - Eliminar uno de los números del anillo; - Si solo quedan dos números en el anillo: sea $S$ la suma de estos dos números. De lo contrario, si hay más de dos números en el anillo, reemplazar. Después, comenzar de nuevo con el paso (2). \nDemostrar que la suma más grande $S$ que puede resultar de esta manera está dada por la fórmula \[S_{max}= \sum^n_{k=2} \begin{pmatrix} n -2 \ [\frac{k}{2}] - 1\end{pmatrix}a_{k}.\]

Encontrar todas las funciones $f: \mathbb{R} \to\mathbb{R}$ tales que \[f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1\] para todo $x,y \in \mathbb{R} $ .