Sea $F$ una familia de subconjuntos de $S = \left \{ 1,2,...,n \right \}$ ( $n \geq 2$ ). Una jugada válida es elegir dos conjuntos disjuntos $A$ y $B$ de $F$ y agregar $A \cup B$ a $F$ (sin remover $A$ y $B$). Inicialmente, $F$ tiene todos los subconjuntos que contienen solo un elemento de $S$. El objetivo es tener todos los subconjuntos de $n - 1$ elementos de $S$ en $F$ usando jugadas válidas. Determina el número más bajo de jugadas requeridas para lograr el objetivo.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia con centro $O$ tal que se encuentra dentro de $ABCD$ y $\angle{BAC} = \angle{ODA}$. Sea $E$ la intersección de $AC$ con $BD$. Las líneas $r$ y $s$ se dibujan a través de $E$ tal que $r$ es perpendicular a $BC$, y $s$ es perpendicular a $AD$. Sea $P$ la intersección de $r$ con $AD$, y $M$ la intersección de $s$ con $BC$. Sea $N$ el punto medio de $EO$. Demuestra que $M$, $N$ y $P$ se encuentran en una línea.

Muestra que el número $n^{2} - 2^{2014}\times 2014n + 4^{2013} (2014^{2}-1)$ no es primo, donde $n$ es un entero positivo.

Sea $ABCD$ un rectángulo y $P$ un punto fuera de él tal que $\angle{BPC} = 90^{\circ}$ y el área del pentágono $ABPCD$ es igual a $AB^{2}$. Muestra que $ABPCD$ puede ser dividido en 3 piezas con cortes rectos de tal manera que un cuadrado pueda ser construido usando esas 3 piezas, sin dejar ningún hueco o colocando piezas encima de otras. Nota: las piezas pueden ser rotadas e invertidas.

Un par de enteros positivos $(a,b)$ se llama charrúa si existe un entero positivo $c$ tal que $a+b+c$ y $a\times b\times c$ son ambos números cuadrados; si no existe tal número $c$, entonces el par se llama no charrúa. a) Demuestra que existen infinitos pares no charrúas. b) Demuestra que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $(2,n)$ es charrúa.

Los números $1$ hasta $2014$ están escritos en una pizarra. Una operación válida es borrar dos números $a$ y $b$ en la pizarra y reemplazarlos con el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$. Demuestra que, sin importar cuántas operaciones se hagan, la suma de todos los números que permanecen en la pizarra es siempre mayor que $2014$ $\times$ $\sqrt[2014]{2014!}$

Sea $p >3$ un número primo. Para cada subconjunto no vacío $T$ de $\{0,1,2,3, \ldots , p-1\}$ , sea $E(T)$ el conjunto de todas las $(p-1)$ - tuplas $(x_1, \ldots ,x_{p-1} )$ , donde cada $x_i \in T$ y $x_1+2x_2+ \ldots + (p-1)x_{p-1}$ es divisible por $p$ y sea $|E(T)|$ denota el número de elementos en $E(T)$ . Demuestra que\n\[|E(\{0,1,3\})| \geq |E(\{0,1,2\})|\]\ncon igualdad si y solo si $p = 5$ .

Suponga que a cada entero se le ha dado uno de los colores rojo, azul, verde o amarillo. Sean $x$ e $y$ enteros impares tales que $|x| \neq |y|$ . Demuestra que hay dos enteros del mismo color cuya diferencia tiene uno de los siguientes valores: $x,y,x+y$ o $x-y$ .

Sea $n$ un entero positivo par. Decimos que dos celdas diferentes de un tablero de $n \times n$ son vecinas si tienen un lado en común. Encuentra el número mínimo de celdas en el tablero de $n \times n$ que deben ser marcadas para que cualquier celda (marcada o no marcada) tenga una celda vecina marcada.

Sea $A$ un conjunto de $N$ residuos $\pmod{N^{2}}$ . Demuestra que existe un conjunto $B$ de $N$ residuos $\pmod{N^{2}}$ tal que $A + B = \{a+b|a \in A, b \in B\}$ contiene al menos la mitad de todos los residuos $\pmod{N^{2}}$ .