Sea $ ABCD $ un cuadrilátero convexo sin un par de lados paralelos, tal que $ \angle ABC = \angle CDA $ . Suponga que las intersecciones de los pares de bisectrices de ángulos vecinos de $ ABCD $ forman un cuadrilátero convexo $ EFGH $ . Sea $ K $ la intersección de las diagonales de $ EFGH$ . Demuestre que las líneas $ AB $ y $ CD $ se intersecan en la circunferencia circunscrita del triángulo $ BKD $ .

Sea $ K $ el punto medio del lado $ AB $ de un triángulo dado $ ABC $ . Sean $ L $ y $ M$ puntos en los lados $ AC $ y $ BC$ , respectivamente, tales que $ \angle CLK = \angle KMC $ . Demuestre que las perpendiculares a los lados $ AB, AC, $ y $ BC $ que pasan por $ K,L, $ y $M$ , respectivamente, son concurrentes.

Sea $ p>2 $ un número primo. Para cualquier permutación $ \pi = ( \pi(1) , \pi(2) , \cdots , \pi(p) ) $ del conjunto $ S = \{ 1, 2, \cdots , p \} $ , sea $ f( \pi ) $ el número de múltiplos de $ p $ entre los siguientes $ p $ números: \[ \pi(1) , \pi(1) + \pi(2) , \cdots , \pi(1) + \pi(2) + \cdots + \pi(p) \] Determine el valor promedio de $ f( \pi) $ tomado sobre todas las permutaciones $ \pi $ de $ S $ .

Sea $ n $ un entero positivo. Considere palabras de longitud $n$ compuestas de letras del conjunto $ \{ M, E, O \} $ . Sea $ a $ el número de tales palabras que contienen un número par (posiblemente 0) de bloques $ ME $ y un número par (posiblemente 0) bloques de $ MO $ . Del mismo modo, sea $ b $ el número de tales palabras que contienen un número impar de bloques $ ME $ y un número impar de bloques $ MO $ . Demuestre que $ a>b $ .

Sean $ a,b$ y $ c $ números reales positivos con $ abc = 1 $ . Demuestre que \[ \sqrt{ 9 + 16a^2}+\sqrt{ 9 + 16b^2}+\sqrt{ 9 + 16c^2} \ge 3 +4(a+b+c)\]

Encuentra todas las tripletas $ (x,y,z) $ de números reales tales que \[ 2x^3 + 1 = 3zx \] \[ 2y^3 + 1 = 3xy \] \[ 2z^3 + 1 = 3yz \]

La secuencia $ \{ a_n \} _ { n \ge 0 } $ está definida por $ a_0 = 2 , a_1 = 4 $ y \[ a_{n+1} = \frac{a_n a_{n-1}}{2} + a_n + a_{n-1} \] para todos los enteros positivos $ n $ . Determine todos los números primos $ p $ para los cuales existe un entero positivo $ m $ tal que $ p $ divide al número $ a_m - 1 $ .

En un trapecio dado $ ABCD $ con $ AB$ paralelo a $ CD $ y $ AB > CD $ , la línea $ BD $ biseca el ángulo $ \angle ADC $ . La línea que pasa por $ C $ paralela a $ AD $ se encuentra con los segmentos $ BD $ y $ AB $ en $ E $ y $ F $ , respectivamente. Sea $ O $ el circuncentro del triángulo $ BEF $ . Suponga que $ \angle ACO = 60^{\circ} $ . Demuestre la igualdad \[ CF = AF + FO .\]

Sea $ N $ un entero positivo. Un conjunto $ S \subset \{ 1, 2, \cdots, N \} $ se llama permitido si no contiene tres elementos distintos $ a, b, c $ tales que $ a $ divide a $ b $ y $ b $ divide a $c$ . Determine el mayor número posible de elementos en un conjunto permitido $ S $ .

Sea $ \mathbb{R} ^{+} $ el conjunto de todos los números reales positivos. Encuentra todas las funciones $ \mathbb{R} ^{+} \to \mathbb{R} ^{+} $ tales que \[ f(x+f(y)) = yf(xy+1)\] se cumple para todo $ x, y \in \mathbb{R} ^{+} $ .