Los enteros positivos $ a$ y $ b$ son tales que los números $ 15a + 16b$ y $ 16a - 15b$ son ambos cuadrados de enteros positivos. ¿Cuál es el menor valor posible que puede tomar el menor de estos dos cuadrados?

Sea $ \mathbb{N}_0$ el conjunto de los enteros no negativos. Encuentre todas las funciones $ f$ de $ \mathbb{N}_0$ a sí mismo tales que \[ f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n)\qquad \text{para todos} \; m, n \in \mathbb{N}_0. ]

Sea $ P$ un punto dentro de un triángulo $ ABC$ tal que \[ \angle APB - \angle ACB = \angle APC - \angle ABC. ] Sea $ D$ , $ E$ los incentros de los triángulos $ APB$ , $ APC$ , respectivamente. Demuestre que las líneas $ AP$ , $ BD$ , $ CE$ se encuentran en un punto.

Dado un entero positivo $ r$ y un tablero rectangular $ ABCD$ con dimensiones $ AB = 20, BC = 12$ . El rectángulo está dividido en una cuadrícula de $ 20 \times 12$ cuadrados unitarios. Los siguientes movimientos están permitidos en el tablero: uno puede moverse de un cuadrado a otro solo si la distancia entre los centros de los dos cuadrados es $ \sqrt {r}$ . La tarea es encontrar una secuencia de movimientos que conduzca desde el cuadrado con $ A$ como vértice hasta el cuadrado con $ B$ como vértice. (a) Demuestre que la tarea no se puede realizar si $ r$ es divisible por 2 o 3. (b) Demuestre que la tarea es posible cuando $ r = 73$ . (c) ¿Se puede realizar la tarea cuando $ r = 97$ ?

Encuentra todos los enteros positivos de 3 dígitos $\overline{abc}$ tales que\n\[ \overline{abc} = abc(a+b+c) , \]\ndonde $\overline{abc}$ es la representación decimal del número.

Demuestra que existen\n(a) 5 puntos en el plano tales que entre todos los triángulos con vértices entre estos puntos hay 8 triángulos rectángulos;\n(b) 64 puntos en el plano tales que entre todos los triángulos con vértices entre estos puntos hay al menos 2005 triángulos rectángulos.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en un círculo $k$ . Se sabe que la tangente desde $A$ al círculo se encuentra con la línea $BC$ en el punto $P$ . Sea $M$ el punto medio del segmento de línea $AP$ y $R$ el segundo punto de intersección del círculo $k$ con la línea $BM$ . La línea $PR$ se encuentra nuevamente con el círculo $k$ en el punto $S$ diferente de $R$ . Demuestra que las líneas $AP$ y $CS$ son paralelas.

Encuentra todos los enteros positivos $x,y$ que satisfacen la ecuación\n\[ 9(x^2+y^2+1) + 2(3xy+2) = 2005 . \]

Para cualquier entero positivo $n $ , sea $ d(n) $ el número de divisores positivos de $ n $ . ¿Existen enteros positivos $ a $ y $b $ , tales que $ d(a)=d(b)$ y $ d(a^2 ) = d(b^2 ) $ , pero $ d(a^3 ) \ne d(b^3 ) $ ?

Encuentra todas las tripletas $ (x,y,z) $ de enteros positivos tales que \[ x^y + y^x = z^y \] \[ x^y + 2012 = y^{z+1} \]