El hexágono convexo $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ se encuentra en el interior del hexágono convexo $B_1B_2B_3B_4B_5B_6$ tal que $A_1A_2 \parallel B_1B_2$ , $A_2A_3 \parallel B_2B_3$ , ..., $A_6A_1 \parallel B_6B_1$ . Demuestra que las áreas de los hexágonos simples $A_1B_2A_3B_4A_5B_6$ y $B_1A_2B_3A_4B_5A_6$ son iguales. (Un hexágono simple es un hexágono que no se interseca a sí mismo).

Como se muestra a continuación, hay un papel de $40\times30$ con un rectángulo relleno de $10\times5$ dentro de él. Queremos recortar el rectángulo relleno del papel usando cuatro cortes rectos. Cada corte recto es una línea recta que divide el papel en dos pedazos, y nos quedamos con el pedazo que contiene el rectángulo relleno. El objetivo es minimizar la longitud total de los cortes rectos. ¿Cómo lograr este objetivo y cuál es esa longitud minimizada? Muestra los cortes correctos y escribe la respuesta final. No es necesario probar la respuesta.

Encuentre todos los enteros $n \leq 3$ tales que exista un conjunto $S_n$ formado por $n$ puntos del plano que satisfagan las siguientes dos condiciones: Tres puntos cualesquiera no son colineales. Ningún punto se encuentra dentro del círculo cuyo diámetro tiene extremos en dos puntos cualesquiera de $S_n$ . NOTA: Los puntos en la circunferencia no se consideran dentro del círculo.

Queremos cubrir totalmente un cuadrado (el lado es igual a $k$ entero y $k>1$ ) con estos rectángulos: $1$ rectángulo ( $1\times 1$ ) , $2$ rectángulos ( $2\times 1$ ) , $4$ rectángulos ( $3\times 1$ ) ,...., $2^n$ rectángulos ( $n + 1 \times 1$ ) , de manera que los rectángulos no se superpongan y no excedan los límites del cuadrado. Encuentra todos los $k$ , tal que esto sea posible y para cada $k$ encontrado tienes que dibujar una solución

La secuencia $0, 1, 1, 1, 1, 1,....,1$ donde hay $1$ número cero y $1995$ números uno. Si elegimos dos o más números en esta secuencia (pero no todos los $1996$ números) y sustituimos un número por la media aritmética de los números seleccionados, obtenemos una nueva secuencia con $1996$ números!!! Demuestre que podemos repetir esta operación hasta que todos los $1996$ números sean iguales Nota: ¡¡No es necesario elegir la misma cantidad de números en cada operación!!!

Una tienda vende botellas con esta capacidad: $1L, 2L, 3L,..., 1996L$ , los precios de las botellas satisfacen estas $2$ condiciones: $1$ . Dos botellas tienen el mismo precio, si y solo si, sus capacidades satisfacen $m - n = 1000$ $2$ . El precio de la botella $m$ ( $1001>m>0$ ) es $1996 - m$ dólares. Encuentre todos los pares $m$ y $n$ tales que: a) $m + n = 1000$ b) ¡El costo es lo más pequeño posible! c) Con el par, la tienda puede medir $k$ litros, con $0<k<1996$ ( para todo $k$ entero) Nota: Las operaciones para medir son: i) Llenar o vaciar cualquiera de las dos botellas ii) Pasar agua de una botella a otra Podemos medir $k$ litros cuando la capacidad de una botella más la capacidad de otra botella es igual a $k$

Considere una secuencia de números reales definida por: $a_{n + 1} = a_n + \frac{1}{a_n}$ para $n = 0, 1, 2, ...$ Pruebe que, para cualquier número real positivo $a_0$ , es cierto que $a_{1996}$ es mayor que $63$ .

En la siguiente figura, el cuadrado más grande está dividido en dos cuadrados y tres rectángulos, como se muestra: El área de cada cuadrado más pequeño es igual a $a$ y el área de cada rectángulo pequeño es igual a $b$ . Si $a+b=24$ y la raíz cuadrada de $a$ es un número natural, encuentre todos los valores posibles para el área del cuadrado más grande.

Sean $ p,q,n$ tres enteros positivos con $ p + q < n$ . Sea $ (x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n})$ una $ (n + 1)$ - tupla de enteros que satisface las siguientes condiciones : (a) $ x_{0} = x_{n} = 0$ , y (b) Para cada $ i$ con $ 1\leq i\leq n$ , o bien $ x_{i} - x_{i - 1} = p$ o bien $ x_{i} - x_{i - 1} = - q$ . Demuestre que existen índices $ i < j$ con $ (i,j)\neq (0,n)$ , tales que $ x_{i} = x_{j}$ .

Sea $ ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $ AB$ es paralelo a $ DE$ , $ BC$ es paralelo a $ EF$ , y $ CD$ es paralelo a $ FA$ . Sean $ R_{A},R_{C},R_{E}$ los circunradios de los triángulos $ FAB,BCD,DEF$ , respectivamente, y sea $ P$ el perímetro del hexágono. Demuestre que \[ R_{A} + R_{C} + R_{E}\geq \frac {P}{2}. ]