Sean $A_0,A_1, \ldots , A_n$ puntos en un plano tales que (i) $A_0A_1 \leq \frac{1}{ 2} A_1A_2 \leq \cdots \leq \frac{1}{2^{n-1} } A_{n-1}A_n$ y (ii) $0 < \measuredangle A_0A_1A_2 < \measuredangle A_1A_2A_3 < \cdots < \measuredangle A_{n-2}A_{n-1}A_n < 180^\circ,$ donde todos estos ángulos tienen la misma orientación. Pruebe que los segmentos $A_kA_{k+1},A_mA_{m+1}$ no se intersectan para cada $k$ y $n$ tales que $0 \leq k \leq m - 2 < n- 2.$

Considere en el primer cuadrante del círculo trigonométrico los arcos $AM_1 = x_1,AM_2 = x_2,AM_3 = x_3, \ldots , AM_v = x_v$ , tal que $x_1 < x_2 < x_3 < \cdots < x_v$ . Pruebe que \[\sum_{i=0}^{v-1} \sin 2x_i - \sum_{i=0}^{v-1} \sin (x_i- x_{i+1}) < \frac{\pi}{2} + \sum_{i=0}^{v-1} \sin (x_i + x_{i+1})\]

Sean $a_{1}, \ldots, a_{n}$ una secuencia infinita de enteros estrictamente positivos, tal que $a_{k} < a_{k+1}$ para cualquier $k.$ Pruebe que existe una infinidad de términos $a_{m},$ los cuales se pueden escribir como $a_m = x \cdot a_p + y \cdot a_q$ con $x,y$ enteros estrictamente positivos y $p \neq q.$

Un zorro se encuentra en el centro del campo que tiene la forma de un triángulo equilátero, y un conejo se encuentra en uno de sus vértices. El zorro puede moverse a través de todo el campo, mientras que el conejo sólo puede moverse a lo largo de la frontera del campo. Las velocidades máximas del zorro y el conejo son iguales a $u$ y $v$, respectivamente. Demuestra que: (a) Si $2u>v$, el zorro puede atrapar al conejo, sin importar cómo se mueva el conejo. (b) Si $2u\le v$, el conejo siempre puede huir del zorro.

Hay $n$ puntos en una hoja de papel plana, dos cualesquiera de ellos a una distancia de al menos $2$ entre sí. Un alumno distraído derrama tinta sobre una parte del papel de tal manera que el área total de la parte dañada es igual a $\frac 32$. Demuestra que existen dos vectores de igual longitud menor que $1$ y con su suma teniendo una dirección dada, tales que después de una traslación por cualquiera de estos dos vectores ningún punto del conjunto dado permanece en el área dañada.

Sean $m$ y $n$ números naturales con $m>n$. Demuestra que \[2(m-n)^2(m^2-n^2+1)\ge 2m^2-2mn+1\]

Determina una ecuación de tercer grado con coeficientes integrales que tenga raíces $\sin \frac{\pi}{14}, \sin \frac{5 \pi}{14}$ y $\sin \frac{-3 \pi}{14}.$

Se dan $n$ puntos de masa de igual masa en el espacio. Definimos una secuencia de puntos $O_1,O_2,O_3,\ldots $ de la siguiente manera: $O_1$ es un punto arbitrario (dentro de la distancia unitaria de al menos uno de los $n$ puntos); $O_2$ es el centro de gravedad de todos los $n$ puntos dados que están dentro de la esfera unitaria centrada en $O_1$ ; $O_3$ es el centro de gravedad de todos los $n$ puntos dados que están dentro de la esfera unitaria centrada en $O_2$ ; etc. Demuestra que a partir de algún $m$, todos los puntos $O_m,O_{m+1},O_{m+2},\ldots$ coinciden.

Dados dos puntos $A,B$ fuera de un plano dado $P,$ encuentra las posiciones de los puntos $M$ en el plano $P$ para los cuales la razón $\frac{MA}{MB}$ toma un mínimo o un máximo.

Fuera de un triángulo arbitrario $ABC$, se construyen triángulos $ADB$ y $BCE$ tales que $\angle ADB=\angle BEC=90^{\circ}$ y $\angle DAB=\angle EBC=30^{\circ}$. En el segmento $AC$ se elige el punto $F$ con $AF=3FC$. Demuestra que $\angle DFE=90^{\circ}$ y $\angle FDE=30^{\circ}$.