En el triángulo $ABC$ sean $A'$ , $B'$ , $C'$ respectivamente los puntos medios de los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ . Además, sean $L$ , $M$ , $N$ las proyecciones del ortocentro sobre los tres lados $BC$ , $CA$ , $AB$ , y sea $k$ el círculo de los nueve puntos. Las líneas $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ intersecan a $k$ en los puntos $D$ , $E$ , $F$ . Las líneas tangentes en $k$ en $D$ , $E$ , $F$ intersecan las líneas $MN$ , $LN$ y $LM$ en los puntos $P$ , $Q$ , $R$ . Demuestra que $P$ , $Q$ y $R$ son colineales.

Considera sucesiones de enteros crecientes con elementos de $1,\ldots,10^6$ . Tal sucesión es Adriática si su primer elemento es igual a 1 y si cada elemento es al menos dos veces el elemento precedente. Una sucesión es Tirrena si su elemento final es igual a $10^6$ y si cada elemento es estrictamente mayor que la suma de todos los elementos precedentes. Decide si el número de sucesiones Adriáticas es menor que, igual a, o mayor que el número de sucesiones Tirrenas.

Sean $a_1,\ldots,a_n$ y $b_1\ldots,b_n$ $2n$ números reales. Demuestra que existe un entero $k$ con $1\le k\le n$ tal que $ \sum_{i=1}^n|a_i-a_k| ~~\le~~ \sum_{i=1}^n|b_i-a_k|.$

Determinar los polinomios P de dos variables de modo que: a.) para cualquier número real $t,x,y$ tenemos $P(tx,ty) = t^n P(x,y)$ donde $n$ es un entero positivo, el mismo para todos $t,x,y;$ b.) para cualquier número real $a,b,c$ tenemos $P(a + b,c) + P(b + c,a) + P(c + a,b) = 0;$ c.) $P(1,0) =1.$

Sea $f(x)$ una función continua definida en el intervalo cerrado $0 \leq x \leq 1$ . Sea $G(f)$ denota el gráfico de $f(x): G(f) = \{(x, y) \in \mathbb R^2 | 0 \leq$ $ x \leq 1, y = f(x) \}$ . Sea $G_a(f)$ denota el gráfico de la función trasladada $f(x - a)$ (trasladada una distancia $a$ ) , definida por $G_a(f) = \{(x, y) \in \mathbb R^2 | a \leq x \leq a + 1, y = f(x - a) \}$ . ¿Es posible encontrar para cada $a, \ 0 < a < 1$ , una función continua $f(x)$ , definida en $0 \leq x \leq 1$ , tal que $f(0) = f(1) = 0$ y $G(f)$ y $G_a(f)$ son conjuntos de puntos disjuntos ?

En el plano de un triángulo $ABC,$ en su exterior $,$ dibujamos los triángulos $ABR, BCP, CAQ$ de modo que $\angle PBC = \angle CAQ = 45^{\circ}$ , $\angle BCP = \angle QCA = 30^{\circ}$ , $\angle ABR = \angle RAB = 15^{\circ}$ . Demostrar que a.) $\angle QRP = 90\,^{\circ},$ y b.) $QR = RP.$

Demostrar que de $x + y = 1 \ (x, y \in \mathbb R)$ se sigue que \[x^{m+1} \sum_{j=0}^n \binom{m+j}{j} y^j + y^{n+1} \sum_{i=0}^m \binom{n+i}{i} x^i = 1 \qquad (m, n = 0, 1, 2, \ldots ).\]

Cuando $4444^{4444}$ se escribe en notación decimal, la suma de sus dígitos es $A$. Sea $B$ la suma de los dígitos de $A$. Encuentra la suma de los dígitos de $B$. ($A$ y $B$ se escriben en notación decimal.)

¿Se pueden dibujar en un círculo de radio $1$ un número de $1975$ puntos distintos, de modo que la distancia (medida en la cuerda) entre dos puntos cualesquiera (de los puntos considerados) sea un número racional?

Sea $x_0 = 5$ y $x_{n+1} = x_n + \frac{1}{x_n} \ (n = 0, 1, 2, \ldots )$ . Pruebe que \[45 < x_{1000} < 45. 1.\]