Un rectángulo $\mathcal{R}$ con longitudes de lados enteros impares se divide en pequeños rectángulos con longitudes de lados enteros. Demuestra que hay al menos uno entre los pequeños rectángulos cuyas distancias desde los cuatro lados de $\mathcal{R}$ son todas impares o todas pares.

Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Determine todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que, para cualquier número real $x$ e $y$, \[ f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy). \]

Una función $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tiene la siguiente propiedad: $$\text{Para todo } x,y \in \mathbb{R} \text{ tal que }(f(x)+y)(f(y)+x) > 0, \text{ tenemos } f(x)+y = f(y)+x.$$ Pruebe que $f(x)+y \leq f(y)+x$ siempre que $x>y$ .

Sean $a_0,a_1,a_2,\ldots$ una secuencia de enteros y $b_0,b_1,b_2,\ldots$ una secuencia de enteros positivos tales que $a_0=0,a_1=1$ , y \[ a_{n+1} = \t \begin{cases} a_nb_n+a_{n-1} & \text{si $b_{n-1}=1$} \\ a_nb_n-a_{n-1} & \text{si $b_{n-1}>1$} \t \end{cases}\qquad\text{para }n=1,2,\ldots. \] para $n=1,2,\ldots.$ Pruebe que al menos uno de los dos números $a_{2017}$ y $a_{2018}$ debe ser mayor o igual a $2017$ .

Sea $n \geq 3$ un entero dado. Llamamos a una $n$-tupla de números reales $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ Brillante si para cada permutación $y_1, y_2, \dots, y_n$ de estos números, tenemos $$\sum \limits_{i=1}^{n-1} y_i y_{i+1} = y_1y_2 + y_2y_3 + y_3y_4 + \cdots + y_{n-1}y_n \geq -1.$$ Encuentra la constante más grande $K = K(n)$ tal que $$\sum \limits_{1 \leq i < j \leq n} x_i x_j \geq K$$ se cumple para cada $n$-tupla Brillante $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ .

Una secuencia de números reales $a_1,a_2,\ldots$ satisface la relación $$a_n=-\max_{i+j=n}(a_i+a_j)\qquad\text{para todos los}\quad n>2017.$$ Pruebe que la secuencia está acotada, es decir, existe una constante $M$ tal que $|a_n|\leq M$ para todos los enteros positivos $n$ .

Sea $S$ un conjunto finito, y sea $\mathcal{A}$ el conjunto de todas las funciones de $S$ a $S$ . Sea $f$ un elemento de $\mathcal{A}$ , y sea $T=f(S)$ la imagen de $S$ bajo $f$ . Suponga que $f\circ g\circ f\ne g\circ f\circ g$ para cada $g$ en $\mathcal{A}$ con $g\ne f$ . Muestre que $f(T)=T$ .

Sea $q$ un número real. Gugu tiene una servilleta con diez números reales distintos escritos en ella, y escribe las siguientes tres líneas de números reales en la pizarra:\nEn la primera línea, Gugu escribe cada número de la forma $a-b$ , donde $a$ y $b$ son dos números (no necesariamente distintos) en su servilleta.\nEn la segunda línea, Gugu escribe cada número de la forma $qab$ , donde $a$ y $b$ son dos números (no necesariamente distintos) de la primera línea.\nEn la tercera línea, Gugu escribe cada número de la forma $a^2+b^2-c^2-d^2$ , donde $a, b, c, d$ son cuatro números (no necesariamente distintos) de la primera línea.\nDetermine todos los valores de $q$ tales que, independientemente de los números en la servilleta de Gugu, cada número en la segunda línea es también un número en la tercera línea.

Demuestra que para cada entero $S\ge100$ existe un entero $P$ para el cual la siguiente historia podría ser verdadera: El matemático le pregunta al dueño de la tienda: ``¿Cuánto cuestan la mesa, el armario y la estantería?'' El dueño de la tienda responde: ``Cada artículo cuesta una cantidad entera positiva de Euros. La mesa es más cara que el armario, y el armario es más caro que la estantería. La suma de los tres precios es $S$ y su producto es $P$ . '' El matemático piensa y se queja: ``¡Esta no es suficiente información para determinar los tres precios!''

Sean $a_1,a_2,\ldots a_n,k$ , y $M$ enteros positivos tales que $$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}=k\quad\text{y}\quad a_1a_2\cdots a_n=M.$$ Si $M>1$ , pruebe que el polinomio $$P(x)=M(x+1)^k-(x+a_1)(x+a_2)\cdots (x+a_n)$$ no tiene raíces positivas.