La suma de los cuadrados de cinco números reales $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ es igual a $1$. Demuestra que el menor de los números $(a_i - a_j)^2$, donde $i, j = 1, 2, 3, 4, 5$ y $i \neq j$, no excede $\frac{1}{10}$.

Se nos dan $n$ puntos de masa de igual masa en el espacio. Definimos una secuencia de puntos $O_1,O_2,O_3,\ldots $ como sigue: $O_1$ es un punto arbitrario (dentro de la distancia unitaria de al menos uno de los $n$ puntos); $O_2$ es el centro de gravedad de todos los $n$ puntos dados que están dentro de la esfera unitaria centrada en $O_1$ ; $O_3$ es el centro de gravedad de todos los $n$ puntos dados que están dentro de la esfera unitaria centrada en $O_2$ ; etc. Demuestre que a partir de algún $m$ , todos los puntos $O_m,O_{m+1},O_{m+2},\ldots$ coinciden.

Se da una matriz de ceros y unos de $(n^2+n+1) \times (n^2+n+1)$. Si no hay cuatro unos que sean vértices de un rectángulo, demuestre que el número de unos no supera $(n + 1)(n^2 + n + 1).$

En un cierto idioma, las palabras se forman usando un alfabeto de tres letras. Algunas palabras de dos o más letras no están permitidas, y dos palabras distintas cualesquiera de este tipo tienen longitudes diferentes. Demuestre que se puede formar una palabra de longitud arbitraria que no contenga ninguna palabra no permitida.

A través del circuncentro $O$ de un triángulo acutángulo arbitrario, las cuerdas $A_1A_2,B_1B_2, C_1C_2$ se dibujan paralelas a los lados $BC,CA,AB$ del triángulo respectivamente. Si $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita, demuestre que \[A_1O \cdot OA_2 + B_1O \cdot OB_2 + C_1O \cdot OC_2 = R^2.\]

Tres jugadores $A,B$ y $C$ juegan un juego con tres cartas y en cada una de estas $3$ cartas está escrito un entero positivo, todos los $3$ números son diferentes. Un juego consiste en barajar las cartas, darle a cada jugador una carta y a cada jugador se le atribuye un número de puntos igual al número escrito en la carta y luego devuelven las cartas. Después de un número $(\geq 2)$ de juegos descubrimos que A tiene $20$ puntos, $B$ tiene $10$ puntos y $C$ tiene $9$ puntos. También sabemos que en el último juego B tenía la carta con el número más grande. ¿Quién tenía en el primer juego la carta con el segundo valor (esto significa la carta del medio con respecto a su valor)?

Sea $n$ un entero positivo, $n \geq 2$ , y considere la ecuación polinómica\n\[x^n - x^{n-2} - x + 2 = 0.\]\nPara cada $n,$ determine todos los números complejos $x$ que satisfacen la ecuación y tienen módulo $|x| = 1.$

Los puntos $S(i, j)$ con coordenadas cartesianas enteras $0 < i \leq n, 0 < j \leq m, m \leq n$ , forman una red. Encuentre el número de:\n(a) rectángulos con vértices en la red y lados paralelos a los ejes de coordenadas;\n(b) cuadrados con vértices en la red y lados paralelos a los ejes de coordenadas;\n(c) cuadrados en total, con vértices en la red.

Sean $a, b$ y $c$ los tres lados de una mesa de billar con forma de triángulo equilátero. Se coloca una bola en el punto medio del lado $a$ y luego se impulsa hacia el lado $b$ con una dirección definida por el ángulo $\theta$ . ¿Para qué valores de $\theta$ la bola golpeará los lados $b, c, a$ en ese orden?

Considere los coeficientes binomiales $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\ (k=1,2,\ldots n-1)$ . Determine todos los enteros positivos $n$ para los cuales $\binom{n}{1},\binom{n}{2},\ldots ,\binom{n}{n-1}$ son todos números pares.