Si $p$ y $q$ son números primos distintos, entonces existen enteros $x_0$ e $y_0$ tales que $1 = px_0 + qy_0.$ Determine el valor máximo de $b - a$ , donde $a$ y $b$ son enteros positivos con la siguiente propiedad: Si $a \leq t \leq b$ , y $t$ es un entero, entonces existen enteros $x$ e $y$ con $0 \leq x \leq q - 1$ y $0 \leq y \leq p - 1$ tales que $t = px + qy.$

Considere diagramas infinitos\n[asy]\nimport graph; size(90); real lsf = 0.5; pen dp = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dp); pen ds = black; \nlabel('$n_{00} \n_{01} \n_{02} \ldots$', (1.14,1.38), SE*lsf); label('$n_{10} \n_{11} \n_{12} \ldots$', (1.2,1.8), SE*lsf); label('$n_{20} \n_{21} \n_{22} \ldots$', (1.2,2.2), SE*lsf); label('$\vdots \quad \vdots \qquad \vdots $', (1.32,2.72), SE*lsf);\ndraw((1,1)--(3,1)); draw((1,1)--(1.02,2.62)); clip((-4.3,-10.94)--(-4.3,6.3)--(16.18,6.3)--(16.18,-10.94)--cycle);\n[/asy]\ndonde todos menos un número finito de los enteros $n_{ij} , i = 0, 1, 2, \ldots, j = 0, 1, 2, \ldots ,$ son iguales a $0$ . Tres elementos de un diagrama se llaman adyacentes si existen enteros $i$ y $j$ con $i \geq 0$ y $j \geq 0$ tales que los tres elementos son (i) $n_{ij}, n_{i,j+1}, n_{i,j+2},$ o (ii) $n_{ij}, n_{i+1,j}, n_{i+2,j} ,$ o (iii) $n_{i+2,j}, n_{i+1,j+1}, n_{i,j+2}.$ Una operación elemental en un diagrama es una operación por la cual tres elementos adyacentes $n_{ij}$ se cambian a $n_{ij}'$ de tal manera que $|n_{ij}-n_{ij}'|=1.$ Dos diagramas se llaman equivalentes si uno de ellos se puede cambiar en el otro por una secuencia finita de operaciones elementales. ¿Cuántos diagramas no equivalentes existen?

Sea a un número real tal que $0 < a < 1$ , y sea $n$ un entero positivo. Defina la secuencia $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n$ recursivamente por\n\[a_0 = a, \quad a_{k+1} = a_k +\frac 1n a_k^2 \quad \text{ para } k = 0, 1, \ldots, n - 1.\]\nDemuestre que existe un número real $A$ , que depende de $a$ pero es independiente de $n$ , tal que\n\[0 < n(A - a_n) < A^3.\]

Sean $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ $n$ números reales tales que $0<a\le a_k\le b$ para $k=1,2,\ldots ,n$ . Si $m_1=\frac{1}{n}(a_1+a_2+\cdots+a_n)$ y $m_2=\frac{1}{n}(a_1^2+a_2^2+\cdots + a_n^2)$ , demuestre que $m_2\le\frac{(a+b)^2}{4ab}m_1^2$ y encuentre una condición necesaria y suficiente para la igualdad.

Sea $y^{\alpha}=\sum_{i=1}^n x_i^{\alpha}$ donde $\alpha \neq 0, y > 0, x_i > 0$ son números reales, y sea $\lambda \neq \alpha$ un número real. Demuestre que $y^{\lambda} > \sum_{i=1}^n x_i^{\lambda}$ si $\alpha (\lambda - \alpha) > 0,$ y $y^{\lambda} < \sum_{i=1}^n x_i^{\lambda}$ si $\alpha (\lambda - \alpha) < 0.$

Demuestre que para cualquier n natural, el número \[ \sum \limits_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{2k+1} 2^{3k} \] no se puede dividir por $5$ .

Sean $A,B,C,D$ puntos en el espacio. Si para cada punto $M$ en el segmento $AB$ la suma \[S_{AMC}+S_{CMD}+S_{DMB}\] Es constante, demuestre que los puntos $A,B,C,D$ se encuentran en el mismo plano. Nota. $S_X$ denota el área del triángulo $X.$

Sea $M$ un conjunto finito y $P=\{ M_1,M_2,\ldots ,M_l\}$ una partición de $M$ (es decir, $\bigcup_{i=1}^k M_i, M_i\not=\emptyset, M_i\cap M_j =\emptyset$ para todo $i,j\in\{1,2, \ldots ,k\} ,i\not= j)$ . Definimos la siguiente operación elemental en $P$ : Elegir $i,j\in\{1,2,\ldots ,k\}$ , tal que $i=j$ y $M_i$ tiene a elementos y $M_j$ tiene $b$ elementos tal que $a\ge b$ . Luego tome $b$ elementos de $M_i$ y colóquelos en $M_j$ , es decir, $M_j$ se convierte en la unión de sí mismo y un subconjunto de $b$ elementos de $M_i$ , mientras que el mismo subconjunto se resta de $M_i$ (si $a=b$ , $M_i$ se elimina así de la partición). Sea un conjunto finito $M$ dado. Demuestre que la propiedad 'para cada partición $P$ de $M$ existe una secuencia $P=P_1,P_2,\ldots ,P_r$ tal que $P_{i+1}$ se obtiene de $P_i$ mediante una operación elemental y $P_r=\{M\}$ ' es equivalente a 'el número de elementos de $M$ es una potencia de $2$ .'

Sean $C_1$ y $C_2$ círculos en el mismo plano, $P_1$ y $P_2$ puntos arbitrarios en $C_1$ y $C_2$ respectivamente, y $Q$ el punto medio del segmento $P_1P_2.$ Encuentre el lugar geométrico de los puntos $Q$ cuando $P_1$ y $P_2$ recorren todas las posiciones posibles. Versión alternativa . Sean $C_1, C_2, C_3$ tres círculos en el mismo plano. Encuentre el lugar geométrico del centroide del triángulo $P_1P_2P_3$ cuando $P_1, P_2,$ y $P_3$ recorren todas las posiciones posibles en $C_1, C_2$ , y $C_3$ respectivamente.

Sea $g(k)$ el número de particiones de un conjunto $M$ de $k$ elementos, es decir, el número de familias $\{ A_1,A_2,\ldots ,A_s\}$ de subconjuntos no vacíos de $M$ tales que $A_i\cap A_j=\emptyset$ para $i\not= j$ y $\bigcup_{i=1}^n A_i=M$ . Demuestre que, para todo $n$ , \[n^n\le g(2n)\le (2n)^{2n}\]