Sea $ABC$ un triángulo. Demostrar que existe un punto $D$ en el lado $AB$ del triángulo $ABC$ , tal que $CD$ es la media geométrica de $AD$ y $DB$ , si y sólo si el triángulo $ABC$ satisface la desigualdad $\sin A\sin B\le\sin^2\frac{C}{2}$ .

Sean $n$ y $k$ números naturales y $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ números reales positivos que satisfacen $a_1+a_2+\cdots +a_n=1$ . Demostrar que $\dfrac {1} {a_1^{k}}+\dfrac {1} {a_2^{k}}+\cdots +\dfrac {1} {a_n^{k}} \ge n^{k+1}.$

Demostrar que $2^{147} - 1$ es divisible por $343.$

Se dan en el plano un círculo $K$ con radio $r$ , un punto $D$ en $K$ , y un ángulo convexo con vértice $S$ y rayos $a$ y $b$ . Construir un paralelogramo $ABCD$ tal que $A$ y $B$ se encuentren en $a$ y $b$ respectivamente, $SA+SB=r$ , y $C$ se encuentre en $K$ .

Dado una línea $p$ y un triángulo $\Delta$ en el plano, construir un triángulo equilátero uno de cuyos vértices se encuentra en la línea $p$ , mientras que los otros dos dividen a la mitad el perímetro de $\Delta.$

Se da un octágono regular $P$ cuyo incírculo $k$ tiene diámetro $1$ . Alrededor de $k$ se circunscribe un $16$ - gono regular, que también está inscrito en $P$ , cortando de $P$ ocho triángulos isósceles. Al octágono $P$ , se le agregan tres de estos triángulos de modo que exactamente dos de ellos sean adyacentes y no dos de ellos sean opuestos entre sí. Se dice que cada $11$ - gono así obtenido es $P'$ . Demostrar la siguiente afirmación: Dado un conjunto finito $M$ de puntos que se encuentran en $P$ tal que cada dos puntos de este conjunto tienen una distancia que no excede $1$ , uno de los $11$ - gonos $P'$ contiene a todo $M$ .

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales con incógnitas $x_1,x_2 \ldots, x_n \ (n \geq 2)$ y parámetros $c_1,c_2, \ldots , c_n:$ \[2x_1 -x_2 = c_1;\] \[-x_1 +2x_2 -x_3 = c_2;\] \[-x_2 +2x_3 -x_4 = c_3;\] \[\cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \qquad\] \[-x_{n-2} +2x_{n-1} -x_n = c_{n-1};\] \[-x_{n-1} +2x_n = c_n.\]

Sean $x, y, z$ números reales cada uno de los cuales tiene un valor absoluto diferente de $\frac{1}{\sqrt 3}$ tal que $x + y + z = xyz$ . Demostrar que \[\frac{3x - x^3}{1-3x^2} + \frac{3y - y^3}{1-3y^2} + \frac{3z -z^3}{1-3z^2} = \frac{3x - x^3}{1-3x^2} \cdot \frac{3y - y^3}{1-3y^2} \cdot \frac{3z - z^3}{1-3z^2}\]

Sea $p$ un número primo y $n$ un entero positivo. Demostrar que el producto \[{N=\frac{1}{p^{n^2}}} \prod_{i=1;2 \nmid i}^{2n-1} \biggl[ \left( (p-1)! \right) \binom{p^2 i}{pi}\biggr]\] Es un entero positivo que no es divisible por $p.$

Demostrar que el producto de dos números naturales con su suma no puede ser la tercera potencia de un número natural.