Se da un cono recto dentro de un paralelepípedo rectangular $B$ , con el vértice en uno de los vértices, digamos $T$ , del paralelepípedo, y la base tocando las tres caras opuestas a $T .$ Su eje se encuentra en la diagonal larga que pasa por $T.$ Si $V_1$ y $V_2$ son los volúmenes del cono y el paralelepípedo respectivamente, demostrar que \[V_1 \leq \frac{\sqrt 3 \pi V_2}{27}.\]

Sean $K_a,K_b,K_c$ con centros $O_a,O_b,O_c$ las circunferencias exinscritas de un triángulo $ABC$ , que tocan los interiores de los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $T_a,T_b,T_c$ respectivamente. Demostrar que las rectas $O_aT_a,O_bT_b,O_cT_c$ son concurrentes en un punto $P$ para el cual $PO_a=PO_b=PO_c=2R$ se cumple, donde $R$ denota el circunradio de $ABC$ . También demostrar que el circuncentro $O$ de $ABC$ es el punto medio del segmento $PI$ , donde $I$ es el incentro de $ABC$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero arbitrario. Sean los cuadrados $ABB_1A_2, BCC_1B_2, CDD_1C_2, DAA_1D_2$ construidos en el exterior del cuadrilátero. Además, sean $AA_1PA_2$ y $CC_1QC_2$ paralelogramos. Para cualquier punto arbitrario $P$ en el interior de $ABCD$ , se construyen los paralelogramos $RASC$ y $RPTQ$. Demostrar que estos dos paralelogramos tienen dos vértices en común.

Sea ${u_n}$ la sucesión de Fibonacci, es decir, $u_0=0,u_1=1,u_n=u_{n-1}+u_{n-2}$ para $n>1$ . Demostrar que existen infinitos números primos $p$ que dividen a $u_{p-1}$ .

Consideremos la división de un tablero de ajedrez de $8 \times 8$ en p rectángulos disjuntos que satisfacen las condiciones: a) cada rectángulo está formado por un número de cuadrados completos (no parciales) de los 64 y el número de cuadrados blancos es igual al número de cuadrados negros. b) los números $\ a_{1}, \ldots, a_{p}$ de cuadrados blancos de $p$ rectángulos satisfacen $a_1, , \ldots, a_p.$ Hallar el mayor valor de $p$ para el que existe tal división y entonces para ese valor de $p,$ todas las sucesiones $a_{1}, \ldots, a_{p}$ para las que podemos tener tal división.

En una línea recta $\ell$ hay cuatro puntos, $A$ , $B$ , $C$ y $D$ en ese orden, tales que $AB=BC=CD$ . Se elige un punto $E$ fuera de la línea recta de modo que al dibujar los segmentos $EB$ y $EC$ , se forma un triángulo equilátero $EBC$ . Se dibujan los segmentos $EA$ y $ED$ , y se elige un punto $F$ de modo que al dibujar los segmentos $FA$ y $FE$ , se forma un triángulo equilátero $FAE$ fuera del triángulo $EAD$ . Finalmente, se dibujan las líneas $EB$ y $FA$ , que se intersecan en el punto $G$ . Si el área del triángulo $EBD$ es $10$ , calcular el área del triángulo $EFG$ .

Vero tenía un triángulo isósceles hecho de papel. Usando tijeras, lo dividió en tres triángulos más pequeños y los pintó de azul, rojo y verde. Habiendo hecho esto, observó que: $\bullet$ con el triángulo azul y el triángulo rojo se puede formar un triángulo isósceles, $\bullet$ con el triángulo azul y el triángulo verde se puede formar un triángulo isósceles, $\bullet$ con el triángulo rojo y el triángulo verde se puede formar un triángulo isósceles. Mostrar cómo era el triángulo de Vero y cómo podría haber hecho los cortes para que esta situación sea posible.

A Facundo y Luca les han regalado una torta que tiene la forma del cuadrilátero de la figura. Van a realizar dos cortes rectos en la torta, obteniendo así $4$ porciones con forma de cuadrilátero. Luego Facundo se quedará con dos porciones que no compartan ningún lado, las otras dos serán para Luca. Mostrar cómo pueden realizar los cortes de modo que ambos chicos se lleven la misma cantidad de torta. Justificar por qué cortando de esta manera se logra el objetivo.

En un bosque hay $5$ árboles $A, B, C, D, E$ que están en ese orden sobre una línea recta. En el punto medio de $AB$ hay una margarita, en el punto medio de $BC$ hay un rosal, en el punto medio de $CD$ hay un jazmín, y en el punto medio de $DE$ hay un clavel. La distancia entre $A$ y $E$ es $28$ m; la distancia entre la margarita y el clavel es $20$ m. Calcular la distancia entre el rosal y el jazmín.

Una hormiga despistada hace el siguiente recorrido: partiendo del punto $ A $ va $ 1$ cm al norte, luego $ 2$ cm al este, luego $ 3$ cm al sur, luego $ 4$ cm al oeste, inmediatamente $ 5$ cm al norte, continúa $ 6$ cm al este, y así sucesivamente, finalmente $ 41$ cm al norte y termina en el punto $ B $ . Calcular la distancia entre $ A $ y $ B $ (en línea recta).