Sea $ABC$ un triángulo y $P$ un punto en el lado $BC$. Sea $S_1$ la circunferencia con centro $B$ y radio $BP$ que corta el lado $AB$ en $D$ tal que $D$ está entre $A$ y $B$. Sea $S_2$ la circunferencia con centro $C$ y radio $CP$ que corta el lado $AC$ en $E$ tal que $E$ está entre $A$ y $C$. La línea $AP$ corta a $S_1$ y $S_2$ en $X$ e $Y$ diferentes de $P$, respectivamente. Llamamos $T$ al punto de intersección de $DX$ e $EY$. Demostrar que $\angle BAC+ 2 \angle DTE=180$

Determina todos los enteros $n\ge1$ para los cuales el número $n^8+n^6+n^4+4$ es primo. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

Considera un tablero de ajedrez de $25\times25$ con celdas $C(i,j)$ para $1\le i,j\le25$. Encuentra el menor número posible $n$ de colores con los que se pueden colorear estas celdas sujeto a la siguiente condición: Para $1\le i<j\le25$ y para $1\le s<t\le25$, las tres celdas $C(i,s)$, $C(j,s)$, $C(j,t)$ tienen al menos dos colores diferentes. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

Sean $a,b,c$ números reales positivos con $a+b+c=3$. Demuestra que \[ \sqrt{\frac{b}{a^2+3}}+ \sqrt{\frac{c}{b^2+3}}+ \sqrt{\frac{a}{c^2+3}} ~\le~ \frac32\sqrt[4]{\frac{1}{abc}}\]

Sea $ABC$ un triángulo. Sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo en $A$ con $BC$. Sea $T$ el punto de intersección de la recta tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en el punto $A$ con la recta que pasa por $B$ y $C$. Sea $I$ el punto de intersección de la recta ortogonal a $AT$ que pasa por el punto $D$ con la altura $h_a$ del triángulo en el punto $A$. Sea $P$ el punto medio de $AB$, y sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. Sea $M$ el punto de intersección de $AB$ y $TI$, y sea $F$ el punto de intersección de $PT$ y $AD$. Demuestra que $MF$ y $AO$ son ortogonales entre sí.

Sea ABC un triángulo escaleno. Considera los puntos D, E, F en los segmentos AB, BC, CA, respectivamente, tales que $\overline{AF}$ = $\overline{DF}$ y $\overline{BE}$ = $\overline{DE}$. Demuestra que el circuncentro de ABC se encuentra en la circunferencia circunscrita de CEF.

Las celdas unitarias de un tablero de 5 x 5 están pintadas con 5 colores de manera que cada celda está pintada por exactamente un color y cada color se usa en 5 celdas. Demuestra que existe al menos una línea o una columna del tablero en la que se utilizaron al menos 3 colores.

Encuentra cuántos múltiplos de 360 son de la forma $\overline{ab2017cd}$, donde a, b, c, d son dígitos, con a > 0.

Determina todos los enteros positivos con más de un dígito, todos distintos, tales que la suma de sus dígitos es igual al producto de sus dígitos.

Sea ABCD un paralelogramo, E el punto medio de AD y F la proyección de B sobre CE. Demuestra que el triángulo ABF es isósceles.