En una prueba de matemáticas, hay preguntas fáciles y difíciles. Las preguntas fáciles valen 3 puntos y las preguntas difíciles valen D puntos. Si todas las preguntas empiezan a valer 4 puntos, la puntuación total de la prueba aumenta 16 puntos. En cambio, si intercambiamos las puntuaciones de las preguntas, puntuando D puntos para las preguntas fáciles y 3 para las difíciles, la puntuación total de la prueba se multiplica por $\frac{3}{2}$. Sabiendo que el número de preguntas fáciles es 9 veces mayor que el número de preguntas difíciles, encuentra el número de preguntas en esta prueba.

Hallar todas las funciones $f: \mathbb{R} \to\mathbb{R}$ tales que \[f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1\] para todo $x,y \in \mathbb{R} $.

Dos círculos $\Omega_{1}$ y $\Omega_{2}$ tocan internamente el círculo $\Omega$ en M y N y el centro de $\Omega_{2}$ está en $\Omega_{1}$. La cuerda común de los círculos $\Omega_{1}$ y $\Omega_{2}$ interseca a $\Omega$ en $A$ y $B$. $MA$ y $MB$ intersecan a $\Omega_{1}$ en $C$ y $D$. Demostrar que $\Omega_{2}$ es tangente a $CD$.

Hallar todos los pares de enteros positivos $(x,p)$ tales que $p$ es un primo, $x \leq 2p$ y $x^{p-1}$ es un divisor de $ (p-1)^{x}+1$.

Sea $n$ un entero positivo par. Decimos que dos celdas diferentes de un tablero de $n \times n$ son vecinas si tienen un lado común. Encontrar el número mínimo de celdas en el tablero de $n \times n$ que deben ser marcadas para que cualquier celda (marcada o no marcada) tenga una celda vecina marcada.

Sea $n \geq 2$ un entero fijo. Hallar la menor constante $C$ tal que la desigualdad \[\sum_{i<j} x_{i}x_{j} \left(x^{2}_{i}+x^{2}_{j} \right) \leq C \left(\sum_{i}x_{i} \right)^4\] se cumple para cualesquiera $x_{1}, \ldots ,x_{n} \geq 0$ (la suma de la izquierda consta de $\binom{n}{2}$ sumandos). Para esta constante $C$, caracterizar las instancias de igualdad.

Un conjunto $S$ de puntos del espacio se llamará completamente simétrico si tiene al menos tres elementos y cumple la condición de que para cada dos puntos distintos $A$ y $B$ de $S$, el plano bisector perpendicular del segmento $AB$ es un plano de simetría para $S$. Demostrar que si un conjunto completamente simétrico es finito, entonces consta de los vértices de un polígono regular, o de un tetraedro regular o de un octaedro regular.

Sean $p$ y $q$ enteros positivos relativamente primos. Un subconjunto $S$ de $\{0, 1, 2, \ldots\}$ se llama ideal si $0 \in S$ y para cada elemento $n \in S$, los enteros $n + p$ y $n + q$ pertenecen a $S$. Determina el número de subconjuntos ideales de $\{0, 1, 2, \ldots\}$.

En el plano tenemos $n$ rectángulos con lados paralelos. Los lados de rectángulos distintos se encuentran en líneas distintas. Las fronteras de los rectángulos cortan el plano en regiones conexas. Una región es *buena* si tiene al menos uno de los vértices de los $n$ rectángulos en la frontera. Demuestra que la suma de los números de los vértices de todas las regiones buenas es menor que $40n$. (Puede haber regiones no convexas, así como regiones con más de una curva frontera.)

Encuentra todas las ternas de enteros positivos $ (a,m,n)$ tales que $ a^m + 1 \mid (a + 1)^n$.